ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
k
k
2
, где
k
ℝ.
Таким образом, собственными векторами, относящимися к 1
2
,
являются векторы , где
21
2kekex
k
ℝ, 0
k
.
5.7. Диагонализируемость линейного оператора
Ранее уже было отмечено, что в различных базисах линейный опе-
ратор имеет различные матрицы.
Определение. Линейный оператор называется диагонализируе-
мым
, если существует базис, относительно которого его матрица явля-
ется диагональной.
Оказывается, что не все линейные операторы являются диагонали-
зируемыми.
Теорема 5.11 (критерий диагонализируемости линейного опе-
ратора).
Линейный оператор является диагонализируемым тогда и
только тогда, когда в линейном пространстве существует базис, ка-
ждый вектор которого является собственным вектором этого опера-
тора.
Доказательство.
1) Пусть
f
– диагонализируемый линейный оператор. Тогда суще-
ствует базис , относительно которого ег
о матрица – диаго-
нальная:
n
e,,
2
ee ,
1
A
n
00
0λ0
00λ
2
1
A .
Согласно определению матрицы линейного оператора, в первом
столбце матрицы находятся координаты вектора в базисе
, во втором – координаты вектора ) и так далее. Таки
м
образом,
A
)(
1
ef
n
eee ,,,
21
(
2
ef
112111
00)( eeeeef
n
,
222212
00)( eeeeef
n
,
nnnnn
eeeeef
21
00)(,
то есть – собственн
ые векторы линейного оператора
n
eee ,,,
21
f
.
84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
