Составители:
Рубрика:
где |k| = ω/u, u – скорость распространения колебаний в кристалле.
Согласно статистике Бозе – Эйнштейна, в термодинамическом равновесии
среднее число, n, фононов частоты ω на каждую степень свободы равно:
n = (e
hω/kT
- 1)
- 1
(2)
Следовательно, энергия одного моля кристалла равна:
_
E
µ
= 3N
A
nh
ω
= 3N
A
h
ω
/(e
hω/kT
- 1) (3)
и
C
µ
= dE
µ
/dT = 3N
A
k(h
ω
/kT)
2
e
hω/kT
/(exp(h
ω
/kT) - 1)
2
(4)
Эта формула впервые была получена Эйнштейном в 1907 г. Она
качественно правильно учитывает ход теплоемкости при низких
температурах (kT << h
ω
) и переходит в формулу (1) при высоких
температурах (kT>> h
ω
). Однако характер зависимости теплоемкости от
температуры при Т – 0:
С ~ T
-2
exp[- hω /(kT)], (5)
противоречит опытным данным: С
µ
~T
3
. Это противоречие обусловлено
предположением, что все атомы твердого тела совершают колебания с
одной и той же частотой и независимо друг от друга. Однако в твердом
теле нельзя рассматривать атомы как независимые, поскольку само
удержание атомов около положений равновесия есть результат
взаимодействия атомов между собой.
Количественное согласие с опытом было достигнуто
Дебаем в 1912 г.
Он учел коллективное движение атомов, приводящее к распространению
звуковых волн в твердом теле. В системе из N атомов возникает в общем
случае 3N колебаний (стоячих волн) с тремя различными поляризациями
и различными частотами ω
i
, называемых нормальными колебаниями или
модами.
Каждое из 3N нормальных колебаний (осцилляторов) играет роль
степени свободы кристалла. Для вычисления полной энергии колебаний
требуется ввести
функцию плотности распределения мод по частотам, g(
ω ). Значение величины dN = g( ω )dω равно числу мод в интервале
частот от ω до ω + dω, а значение g(ω ) – числу мод на единичный
интервал частот. Для вычисления g( ω ) нужно учесть, что в кристалле
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
