Составители:
Рубрика:
Для вычисления полной энергии колебаний кристалла необходимо
проинтегрировать выражение (11) по всем частотам. Из физических
соображений вытекает, что для дискретной цепочки атомов длина волны
колебаний не может быть меньше удвоенного значения расстояния
между атомами. Соответственно существует максимальная частота, ω
max
,
по порядку величины равная отношению среднего значения скорости
звука, <v>, к среднему значению постоянной решетки, <a>. Величина ω
max
называется частотой Дебая и обозначается ω
max
= ω
D
. Для более точного
определения ω
D
проинтегрируем (9) по всем частотам вплоть до ω
D
. В
результате мы должны получить полное число колебаний, которое равно
3N, где N – полное число атомов кристалла. Таким образом, имеем:
ω
D
ω
D
3N =∫dN( ω ) =3V/(2π
2
<v>
3
)∫ω
2
dω =ω
D
3
V/(2π
2
<v>
3
)
(12)
0 0
откуда
______ ____
ω
D
= <v>
3
√6π
2
N/V = <v>
3
√6π
2
n (13)
где n = N/V – концентрация атомов, <v> - средняя скорость звука,
определяемая соотношением
3/<v>
3
= 2/v
1
3
+ 1/v
||
3
Интегрируя (11) по всем частотам вплоть до ω
D
и полагая N = N
A
,
получим полную энергию колебаний решетки для одного моля:
ω
D
E
µ
= 9h N
A
/ω
D
3
∫ ω
3
(e
hω/kT
– 1)
–1
dω (14)
0
Теплоемкость кристалла получим, продифференцировав (14) по
температуре: С
µ
= dE
µ
/dT.
x
D
C
µ
(T) = 9R (T/θ)
3
∫ e
x
x
4
(e
x
- 1)
-2
dx (15)
0
где R = N
A
k = 8,31 Дж/K моль – универсальная постоянная, Θ = hω
D
/k –
характеристическая температура Дебая, х
D
= Θ/T. Температуру Дебая для
разных веществ определяют экспериментально из измерений
теплоемкости в области низких температур. Так, для Al: Θ = 396 K, для
Cu: Θ =309 K.
При T<< Θ x
D
-- ∞ , и из (15) получаем:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
