Скважинная сейсморазведка. Шевченко А.А. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

113
Модель сейсмической трассы (18) представляет собой свертку сигнала
источника и импульсной характеристики среды. Если представить, что
сейсмическая среда представляет собой некоторый "черный ящик", то
импульсная характеристика среды )- это отклик "черного ящика" на входной
дельта импульс
(
th
)(
t
δ
:
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
0,0
0,1
)(
t
t
t
δ
(20)
Если мы считаем, что входной сейсмический сигнал не равен нулю только на
отрезке [
t
1
,t
2
], то есть:
⎩
⎨
⎧
><=
<<≠
=
21
21
,,0)(
,0)(
)(
tttttS
ttttS
tS
(21)
То тогда в интеграле свертки, используя формулу интегрирования по частям,
мы можем отклик среды на Дельта импульс заменить на переходную
характеристику среды (отклик на импульс Хевисайда):
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
0,1
0,0
)(
t
t
t
σ
ττ
τ
τ
τττ
dtH
S
dthStU )(
)(
)()()( −
∂
∂
=−=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
(22)
здесь
t
th
tH
∂
∂
=
)(
)(
Обратим внимание на то, что импульсная характеристика среды - это
разрывная функция и для нее надо каким-то образом определить понятие
производной. В математике для таких случаев введено понятие обобщенной
функции или распределения. Для обобщенной функции допускается
определение производной если даже исходная функция разрывна. Физический
смысл обобщенной производной определяется как значение производной
гладкой функции плюс еще скачок, который присутствует в данной точке
обобщенной функции Рис.14. Рассмотрим формулу (18) считая, что импульсная
характеристика среды определяется только коэффициентами отражения. Тогда
можно переписать в виде:
)(th
()
)(ln
2
1
)()( t
t
tKth
отр
γ
∂
∂
==
, (23)
где производная понимается в обобщенном смысле. Тогда формула (18) с
учетом (23) записывается следующим образом:
() ()()
)(*)(ln
2
1
)(*)(ln
2
1
)(*)()( tS
t
ttSt
t
tStKtU
отр
∂
∂
=
∂
∂
==
γγ
(24)
Таким образом, операцию взятия производной в сверточной модели можно
перенести с импульсной характеристики на сигнал источника.
Рис.14. Свертка дельта импульса δ
(t) и сигнала S(t) равна свертке функции
Хевисайда σ
(t) и производной сигнала dS(t)/dt.

Страницы