Методы безусловной многомерной оптимизации. Шипилов С.А. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

11
и оценка нового направления движения. Процедура поиска продолжается до
тех пор, пока величина вектора градиента не станет меньше заданной точности.
Пусть мы имеем функцию f(x
1
, x
2
). Необходимо найти минимум функции
методом крутого восхождения.
Алгоритм поиска следующий.
Выбираем начальную точку поиска x
(0)
(x
1
(0)
, x
2
(0)
). В окрестности точки
проводим полный факторный эксперимент
ПФЭ 2
2
. Матрица планирования в кодиро-
ванных переменных для ПФЭ 2
2
имеет вид:
Переход от кодированных пере-
менных к натуральным осуществляется по
формуле: x
j
= x
j
(0)
+ X
j
·x
j
, j = 1, 2,
где x
j
(0)
- опорный уровень;
X
j
- кодированное значение переменной;
x
j
- интервал варьирования.
Опорному уровню соответствуют координаты начальной точки поиска,
кодированные значения переменных приве-
дены в матрице ПФЭ 2
2
. Интервал варьиро-
вания x
j
для расчетов можно принять рав-
ным 1. C учетом этого матрица ПФЭ 2
2
в на-
туральных переменных будет иметь вид:
Значения y
1
, y
2
, y
3
, y
4
определяем, рассчитывая значение функции y=f(x
1
,
x
2
) для полученных четырех точек. Метод ПФЭ позволяет получить линейную
зависимость y от x
1
и x
2
:
y= b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
.
Необходимо оценить значения коэффициентов уравнения b
1
, b
2
b
1
= (-y
1
+y
2
-y
3
+y
4
)/4 ; b
2
= (-y
1
-y
2
+y
3
+y
4
)/4 .
Определив значение коэффициентов регрессии, начинаем движение по
поверхности отклика в направлении вектора градиента [-b
1
,-b
2
]. Знак (-) указы-
вает на поиск минимума. Расчет ведем по формуле:
x
j
(k)
= x
j
(0)
- k·a·b
j
·x
j
,
где: x
j
(k)
- значение j-го фактора на k-том шаге движения в направлении
градиента;
a - коэффициент пропорциональности (выбираем с учетом
предполагаемого вида поверхности отклика).
Движение по поверхности отклика осуществляется до тех пор, пока зна-
чение функции не начнет увеличиваться. В этом случае за исходную точку бе-
рется точка, в которой значение функции
будет минимальным. В этой точке
вновь реализуется ПФЭ 2
2
, рассчитываются коэффициенты регрессии и вновь
осуществляется движение по поверхности отклика. Процедура повторяется до
тех пор, пока длина вектора градиента
2
2
2
1
)( bbf += x
не станет меньше за-
данного
ε.
X
1
X
2
y
1
2
3
4
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
y
1
y
2
y
3
y
4
x
1
x
2
y
1
2
3
4
x
1
(0)
-1
x
1
(0)
+1
x
1
(0)
-1
x
1
(0)
+1
x
1
(0)
-1
x
1
(0)
-1
x
1
(0)
+1
x
1
(0)
+1
y
1
y
2
y
3
y
4
                                     11
и оценка нового направления движения. Процедура поиска продолжается до
тех пор, пока величина вектора градиента не станет меньше заданной точности.
      Пусть мы имеем функцию f(x1, x2). Необходимо найти минимум функции
методом крутого восхождения.
      Алгоритм поиска следующий.
      Выбираем начальную точку поиска x(0) (x1(0), x2(0)). В окрестности точки
проводим полный факторный эксперимент            №        X1     X2       y
       2
ПФЭ 2 . Матрица планирования в кодиро-            1       -1     -1       y1
ванных переменных для ПФЭ 22 имеет вид:           2       +1     -1       y2
                                                  3       -1     +1       y3
      Переход от кодированных пере-               4       +1     +1       y4
менных к натуральным осуществляется по
формуле:                  xj = xj(0)+ Xj·∆xj,  j = 1, 2,
              (0)
      где xj - опорный уровень;
            Xj - кодированное значение переменной;
            ∆xj - интервал варьирования.
      Опорному уровню соответствуют координаты начальной точки поиска,
кодированные значения переменных приве-
                                                  №         x1    x2      y
дены в матрице ПФЭ 22. Интервал варьиро-                    (0)   (0)
вания ∆xj для расчетов можно принять рав-          1     x1 -1 x1 -1      y1
                                                           (0)    (0)
ным 1. C учетом этого матрица ПФЭ 22 в на-         2     x1 +1 x1 -1      y2
                                                            (0)  (0)
туральных переменных будет иметь вид:              3     x1 -1 x1 +1      y3
                                                           (0)   (0)
                                                   4     x1 +1 x1 +1      y4
      Значения y1, y2, y3, y4 определяем, рассчитывая значение функции y=f(x1,
x2) для полученных четырех точек. Метод ПФЭ позволяет получить линейную
зависимость y от x1 и x2 :
                      y= b0+ b1x1+ b2x2 .
      Необходимо оценить значения коэффициентов уравнения b1, b2
                    b1= (-y1+y2-y3+y4)/4 ;        b2= (-y1-y2+y3+y4)/4 .
      Определив значение коэффициентов регрессии, начинаем движение по
поверхности отклика в направлении вектора градиента [-b1,-b2]. Знак (-) указы-
вает на поиск минимума. Расчет ведем по формуле:
                      xj(k)= xj(0) - k·a·bj·∆xj ,
      где: xj(k) - значение j-го фактора на k-том шаге движения в направлении
                   градиента;
           a - коэффициент пропорциональности (выбираем с учетом
                   предполагаемого вида поверхности отклика).
      Движение по поверхности отклика осуществляется до тех пор, пока зна-
чение функции не начнет увеличиваться. В этом случае за исходную точку бе-
рется точка, в которой значение функции будет минимальным. В этой точке
вновь реализуется ПФЭ 22, рассчитываются коэффициенты регрессии и вновь
осуществляется движение по поверхности отклика. Процедура повторяется до
тех пор, пока длина вектора градиента ∇f (x) = b12 + b22 не станет меньше за-
данного ε.