Методы безусловной многомерной оптимизации. Шипилов С.А. - 12 стр.

                                              12
       5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ
                НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

     Пусть требуется найти решение системы
                            ⎧ f1 ( x1 , x2 , K , xn ) = 0
                            ⎪ f (x , x , K , x ) = 0
                            ⎪    2 1       2            n
                            ⎨
                            ⎪      LLLLL
                            ⎪⎩ f n ( x1 , x2 , K , xn ) = 0
                     ⎛ x1 ⎞                ⎛ f1 ( x ) ⎞
                     ⎜x ⎟                  ⎜ f ( x) ⎟
которая при      x=⎜ ⎟ ,2
                                  f (x ) = ⎜ 2 ⎟
                      L
                     ⎜ ⎟                   ⎜L ⎟
                     ⎜x ⎟                  ⎜ f ( x) ⎟
                     ⎝ n⎠                  ⎝ n ⎠
записывается в векторной форме как             f(x)=0.
      Введем неотрицательную функцию
                            Φ (x) = ∑ ( f i ( x1 , x1 , K , xn ) ) .
                                      n
                                                                2

                                     i =1

       Тогда точка минимума x* функции Φ(x) является решением данной сис-
темы уравнений, и наоборот, решение системы реализует минимум функции
Φ(x).
       Действительно, пусть x*- решение системы уравнений. Тогда Φ(x*)=0 ,
                                                                                    n
т.е. x* является точкой локального минимума функции Φ(x) (Φ(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ).
       Таким образом, можно получить решение системы нелинейных уравне-
ний, решая задачу об определении локального минимума функции Φ(x) , т.е.
задачу
                                                             n
                               Φ(x) → min ,           x∈R .
       Пусть дана система уравнений
                                   ⎧ x12 + x22 − 1 = 0
                                   ⎨                       .
                                   ⎩ x2 − x1 sin x1 = 0
Решение этой системы можно найти, отыскивая точку локального минимума
целевой функции:
           Φ(x) = f12(x1, x2) + f22(x1, x2) = (x12 + x22 – 1)2 +( x2 - x1sin x1)2 .