Методы безусловной многомерной оптимизации. Шипилов С.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

14
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Найти минимум функции f(x
1
,x
2
) = (x
1
+ x
2
)
2
+ (x
2
- 1)
2
с точностью ε = 0,2 для начальной точки с координатами x
(0)
= (5, 6).
1.
Аналитический анализ функции
Находим частные производные первого порядка и приравниваем их ну-
лю.
0)(2
21
1
=+=
∂
∂
xx
x
f
;
0)1(2)(2
221
1
=−++=
∂
∂
xxx
x
f
.
Решаем систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
=−+−
−=
⎩
⎨
⎧
=+
=+
0242
;
0242
0
22
21
21
21
xx
xx
-xx
xx
и получаем x
1
*
=-1 ; x
2
*
= 1 .
Находим частные производные второго порядка:
C
xx
f
BC
CA
x
f
xx
f
xx
f
x
f
B
x
f
A
x
f
==
∂∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=Η==
∂
∂
==
∂
∂
2
42
22
Гессематрицу и4
2
21
2
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
.
Поскольку матрица Гессе (A·B-C
2
= 8 -4 = 4 >0 и A = 2 >0), точка
x
*
= (-1, 1) является точкой минимума. Значение функции в этой точке f(-1; 1) =
(-1+1)
2
+ (1-1)
2
= 0.
Матрица Гессе положительно определена независимо от координат точки
x и, следовательно, рассматриваемая функция является выпуклой на множестве
R
2
, а единственная стационарная точка x
*
- глобальным минимумом f(x
1
,x
2
).
2. Графический анализ функции
Для построения линий уровня функции F = f(x
1
, x
2
) = (x
1
+x
2
)
2
+(x
2
-1)
2
выбираем следующие значения функции: 25, 50, 100, 200.
Выражаем переменную x
1
через x
2
и функцию F
2
2
21
)1( xxFx −−−±=
. 
                                          14
                                                                   ПРИЛОЖЕНИЕ 1

                      ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

      Найти минимум функции        f(x1,x2) = (x1 + x2)2 + (x2 - 1)2
с точностью ε = 0,2 для начальной точки с координатами x(0)= (5, 6).

                         1. Аналитический анализ функции
      Находим частные производные первого порядка и приравниваем их ну-
лю.
                     ∂f
                          = 2( x1 + x2 ) = 0       ;
                    ∂x1
                     ∂f
                          = 2( x1 + x2 ) + 2( x2 − 1) = 0 .
                    ∂x1
        Решаем систему уравнений:
                    ⎧ x1 + x2 = 0               ⎧ x1 = − x2
                    ⎨2 x + 4 x - 2 = 0 ; ⎨− 2 x + 4 x − 2 = 0
                    ⎩ 1          2              ⎩       2    2
                        *            *
        и получаем x1 =-1 ; x2 = 1 .
        Находим частные производные второго порядка:
      2
    ∂ f
          =2= A
    ∂x12                                        ⎡ ∂2 f       ∂2 f ⎤
                                                ⎢                  ⎥
    ∂2 f                                        ⎢    ∂x12   ∂x1∂x2 ⎥ ⎡ A C ⎤ ⎡2 2⎤
          =4=B      и матрицу Гессе Η =                              =       =        .
    ∂x22                                        ⎢ ∂2 f       ∂ 2 f ⎥ ⎢⎣C B ⎥⎦ ⎢⎣2 4⎥⎦
                                                ⎢ ∂x ∂x      ∂x22 ⎥⎦
     ∂2 f                                       ⎣ 2 1
            =2=C
    ∂x1∂x2
        Поскольку матрица Гессе (A·B-C2 = 8 -4 = 4 >0 и A = 2 >0), точка
x*= (-1, 1) является точкой минимума. Значение функции в этой точке f(-1; 1) =
(-1+1)2+ (1-1)2= 0.
        Матрица Гессе положительно определена независимо от координат точки
x и, следовательно, рассматриваемая функция является выпуклой на множестве
R2, а единственная стационарная точка x*- глобальным минимумом f(x1,x2).

                          2. Графический анализ функции
     Для построения линий уровня функции F = f(x1, x2) = (x1+x2)2+(x2-1)2
выбираем следующие значения функции: 25, 50, 100, 200.
     Выражаем переменную x1 через x2 и функцию F

      x1 = ± F − ( x2 − 1) 2 − x2 .

Страницы