Составители:
Рубрика:
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем издании рассматривается решение наиболее простого типа
задач оптимизации – поиска экстремума функций одной переменной без огра-
ничений. Данная задача формулируется как нахождение такого значения вход-
ной переменной объекта, которое соответствует наилучшему (минимальному
или максимальному) значению целевой функции.
Хотя на практике задачи, в которых критерий задан функцией одной пе
-
ременной, встречаются достаточно редко, анализ таких задач занимает доста-
точно важное место в оптимизационных исследованиях. Это объясняется тем,
что многие многомерные методы используют на каждой итерации одномерные
процедуры. Одномерные методы достаточно понятны, легко могут быть проил-
люстрированы графически, что позволяет глубже понять сущность задач опти-
мизации и способствует приобретению навыков
их решения.
В рекомендациях подробно рассмотрены постановка задачи одномерной
оптимизации, аналитический анализ функций и наиболее известные численные
методы поиска экстремума: обратного переменного шага, квадратичной ап-
проксимации, Пауэлла, равномерного поиска, локализации оптимума, половин-
ного деления, золотого сечения, метода Фибоначчи.
Пример выполнения работы и варианты заданий приведены в приложе-
ниях А, Б и
В.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одномерная оптимизация заключается в нахождении точки x
*
, в которой
целевая функция
)(
*
xf принимает максимальное или минимальное значение.
Часто в постановках задачи может быть задан отрезок [a, b], в котором нахо-
дится оптимальное значение.
Функция
)(
x
f
имеет локальный минимум в точке
*
x
, если при ε > 0 су-
ществует окрестность [
x
*
- ε, x
*
+ ε] такая, что для всех значений x в этой окрест-
ности )(
x
f
больше )(
*
xf . Функция )(
x
f
имеет глобальный минимум в точке
x
*
, если для всех x справедливо неравенство )(
x
f
>
)(
*
xf
.
2 АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ
2.1 Необходимые и достаточные условия экстремума
Классический подход к задаче нахождения экстремумов функции состоит
в поиске условий, которым они должны удовлетворять.
Необходимым услови-
ем
экстремума в точке x
*
является равенство нулю первой производной (теоре-
ма Ферма), т.е. требуется решить уравнение
0)( =
′
xf . (1)
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем издании рассматривается решение наиболее простого типа
задач оптимизации – поиска экстремума функций одной переменной без огра-
ничений. Данная задача формулируется как нахождение такого значения вход-
ной переменной объекта, которое соответствует наилучшему (минимальному
или максимальному) значению целевой функции.
Хотя на практике задачи, в которых критерий задан функцией одной пе-
ременной, встречаются достаточно редко, анализ таких задач занимает доста-
точно важное место в оптимизационных исследованиях. Это объясняется тем,
что многие многомерные методы используют на каждой итерации одномерные
процедуры. Одномерные методы достаточно понятны, легко могут быть проил-
люстрированы графически, что позволяет глубже понять сущность задач опти-
мизации и способствует приобретению навыков их решения.
В рекомендациях подробно рассмотрены постановка задачи одномерной
оптимизации, аналитический анализ функций и наиболее известные численные
методы поиска экстремума: обратного переменного шага, квадратичной ап-
проксимации, Пауэлла, равномерного поиска, локализации оптимума, половин-
ного деления, золотого сечения, метода Фибоначчи.
Пример выполнения работы и варианты заданий приведены в приложе-
ниях А, Б и В.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одномерная оптимизация заключается в нахождении точки x*, в которой
целевая функция f ( x * ) принимает максимальное или минимальное значение.
Часто в постановках задачи может быть задан отрезок [a, b], в котором нахо-
дится оптимальное значение.
Функция f (x) имеет локальный минимум в точке x * , если при ε > 0 су-
ществует окрестность [x*- ε, x*+ ε] такая, что для всех значений x в этой окрест-
ности f ( x) больше f ( x * ) . Функция f (x) имеет глобальный минимум в точке
x*, если для всех x справедливо неравенство f (x) > f ( x * ) .
2 АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ
2.1 Необходимые и достаточные условия экстремума
Классический подход к задаче нахождения экстремумов функции состоит
в поиске условий, которым они должны удовлетворять. Необходимым услови-
ем экстремума в точке x* является равенство нулю первой производной (теоре-
ма Ферма), т.е. требуется решить уравнение
f ′( x) = 0 . (1)
