Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 5 стр.

ждения х*. Обозначим через Δ0 произвольное приращение аргумента х и, сделав
один шаг от точки x0 , получим новое значение аргумента х1 = x0+ Δ0.
     Сравним значения функции у0 = f(x0) и у1 = f(x1) = f(x0+Δ0). Возможны три
различных продолжения в приближении к точке х*.
        I у1 < у0 - произошло уменьшение значения функции. Тогда примем в ка-
честве нового стартового значения х0(1) = х1 , и сделаем шаг Δ0 от этой точки
х0(1) к точке х1(1), т.е. х1(1) = х0(1)+ Δ0. Если окажется у1(1) < у0(1), то снова сделаем
шаг Δ0 от новой стартовой точки х0(2)= х1(1) и т.д. На некотором k-м шаге про-
изойдет увеличение значения функции, т.е. у1(k) > у0(k), и если при этом |Δ0| < ε ,
то принимаем х* ≈ х0(k) . В противном случае полагаем, что точка x0(k) является
исходной для продолжения вычислений по следующей схеме II.
      II у1 > у0 - значение функции возросло. В этом случае полагаем, что на-
чальной точкой вычислений является точка х0 = х1, а меньшим шагом в про-
должении счета – величина Δ1 = - β Δ0, где β – некоторое положительное число,
β < 1. Далее производим вычисления по схеме I или II, вплоть до достижения
заданной точности.
     III у1 = у0. В этом практически маловероятном случае (опущенном при
рассмотрении случаев I и II) естественно либо принять х* = (x0+ x1)/2 при дос-
тижении заданной точности |Δ| < ε , либо следовать схеме II.
      Поиск минимума функции одной переменной указанным методом пред-
ставляет собой колебательный процесс, совершающийся около точки х* ло-
кального минимума функции f(x) с непрерывно меняющейся амплитудой.
      В некоторых модификациях данного метода при получении “удачного”
шага его значение увеличивают, т.е. Δ1 = α Δ0 , α > 1, однако это часто приводит
к потере сходимости алгоритма, поэтому данную операцию можно считать це-
лесообразной лишь на первых шагах алгоритма при большом удалении от точ-
ки оптимума.
      Первые несколько шагов сканирования также можно использовать для
поиска отрезка унимодальности для описанной ниже группы методов последо-
вательного сокращения отрезков, имеющих хорошую сходимость.

      3.1.2 Метод квадратичной аппроксимации

      Основан на аппроксимации функции полиномом второго порядка в неко-
торой окрестности и расчета на его основе координаты точки оптимума.
      Пусть известны значения функции в трех точках x0 , x1 , x2 , составляющие
соответственно у0 , у1 , у2 . Тогда функцию f(x) можно аппроксимировать поли-
номом
                         g(x)=a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0) (x- x1)
с коэффициентами




                                                                                        5