Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 4 стр.

      Данному уравнению удовлетворяют как локальные и глобальные экстре-
мумы, так и точки перегиба функции, поэтому приведенное условие является
только необходимым, но недостаточным.
      С целью получения достаточных условий требуется расчет значений
вторых производных в точках, удовлетворяющих уравнению (1). При этом до-
казано, что минимуму функции соответствует положительное значение второй
производной, т.е. f ′′( x * ) > 0 , а максимуму – отрицательное, т.е. f ′′( x * ) < 0 . Од-
нако, если вторая производная равна нулю, ситуация остается неопределенной
и необходимо исследовать высшие производные. При этом если первая высшая
производная не равная 0 имеет четный порядок, то экстремум существует, в
противном случае – нет.

      2.2    Унимодальные функции

      Дадим определение унимодальной функции при поиске минимума.
      Определение. Непрерывная функция f ( x) называется унимодальной на
отрезке [a, b] если:
       • точка x* локального минимума функции принадлежит отрезку [a, b];
       • для любых двух точек отрезка x1 и x2 , взятых по одну сторону от
           точки минимума, точке x1 более близкой к точке минимума соответ-
           ствует меньшее значение функции, т.е. при x* < x1 < x2 либо при
           x2 < x1 < x* справедливо неравенство f(x1) < f(x2) .
     Достаточное условие унимодальности функции f ( x) на отрезке [a, b] со-
держится в следующей теореме.
     Теорема. Если функция f ( x) дважды дифференцируема на отрезке [a, b]
и f ′′( x * ) > 0 в любой точке этого отрезка, то f ( x) – унимодальная функция на
[a, b].
        Заметим, что условие f ′′( x * ) > 0 определяет множество точек, на котором
функция является выпуклой (вниз). Условие же f ′′( x * ) < 0 определяет вогну-
тую функцию, которая на отрезке [a, b] имеет максимум и также является уни-
модальной.

      3      ПОИСКОВЫЕ МЕТОДЫ

      3.1    Методы точечного оценивания

      3.1.1 Метод обратного переменного шага
      Данный метод, называемый иногда методом сканирования, не требует
предварительного определения отрезка унимодальности.
      Пусть функция y=f(x) является унимодальной на некотором промежутке.
Предположим, что произвольная точка x0 этого промежутка является исходной
для поиска точки х* локального минимума и число ε – заданная точность нахо-
4