Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 30 стр.

             3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (НП)
      В задаче НП требуется найти такой вектор переменных x = (x1, x2, …, xn),
для которого                  f(x)→ max(min)                              (15)
                              ⎧⎪hi (x) = 0 , i = 1, k ,
при условиях                   ⎨                                          (16)
                               ⎪⎩ g i (x) ≤ 0 , i = k + 1, m
При этом целевая функция f(x), ограничения- равенства hi(x) и неравенства gi(x)
являются некоторыми известными функциями произвольного вида.

          3.1. Классические методы решения задач оптимизации с
                         ограничениями типа равенств

      Рассмотрим частный случай общей задачи НП (15), (16), предполагая, что
система ограничений (16) содержит только уравнения, а f(x) и hi(x) – функции
непрерывные вместе со своими частными производными:
                                 f(x)→ max(min)                          (17)
                 при              hi (x) = 0 , i = 1, m .                (18)
      В курсе математического анализа данную задачу называют задачей на ус-
ловный экстремум или классической задачей оптимизации.
      Структура допустимого множества D , на котором определен критерий,
зависит от соотношения числа уравнений m и числа неизвестных n . Соотно-
шение d = n − m называют дефектом системы.
      При d = 0 , если система уравнений (18) является совместной, D пред-
ставляет собой совокупность корней данной системы уравнений. В этом случае
для решения задачи (17)-(18) достаточно просмотреть эту совокупность и вы-
брать ту точку, в которой f(x) достигает оптимального значения. Если система
линейна, то система имеет единственный корень. Если нелинейна, то число
корней может быть сколь угодно большим.
      При положительном дефекте в случае линейной системы (18) и d = 1
множество D представляет собой прямую, в случае d = 2 – плоскость, при
d = 3 – многогранник типа конуса и т.д.
      В случае нелинейной системы (18) при d = 1 множество D представляет
собой некоторую кривую, при d = 2 – поверхность, при d = 3 и более – конус.
      При d < 0 , исключив лишние ограничения, придем к одному из рассмот-
ренных вариантов или определим несовместность системы.
      При d > 0 для решения задачи (17)-(18) обычно, если это удается, посту-
пают следующим образом. Часть переменных, а именно m , выразим в явном
виде из (18) через другие n − m , т.е.
                           xn−m+1 = ψ 1 ( x1 , x2 ,..., xn−m ) ⎫
                           xn−m+2 = ψ 2 ( x1 , x2 ,..., xn−m )⎪⎪
                                                               ⎬         (19)
                          LLLLLLLLLL ⎪
                           xn = ψ m ( x1 , x2 ,..., xn−m ) ⎪⎭

30