Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 31 стр.

       В критерий f(x) вместо xn−m+1 , xn−m+ 2 , K , xn подставляем выражения из
(19)
               f (x) = f ( x1 , x2 ,..., xn−m ,ψ 1 ( x1 , x2 ,..., xn−m ),...,ψ m ( x1 , x2 ,..., xn−m )) .
     В результате получаем задачу безусловной оптимизации меньшей раз-
мерности
          f ( x1 , x2 ,..., xn−m ,ψ 1 ( x1 , x2 ,..., xn−m ),...,ψ m ( x1 , x2 ,..., xn−m )) → min (max) .
     Следовательно, можем воспользоваться необходимыми условиями экс-
тремума и найти решение задачи (17)-(18), решив систему
                                                   ∂f (⋅)      ⎫
                                                          =0⎪
                                                    ∂x1
                                                               ⎪
                                                       L ⎬.
                                                   ∂f (⋅)
                                                          = 0⎪
                                                  ∂xn−m        ⎪
                                                               ⎭
     Самое сложное при таком подходе разрешить систему ограничений,
представив ее в виде (19). Далеко не всегда удается получить разрешение в
форме (19) в элементарных функциях; в этом случае обычно используется ме-
тод множителей Лагранжа.

                               3.2. Метод множителей Лагранжа

       Для решения задачи (17)-(18) вводят набор дополнительных переменных
λ1, λ1, …, λm, называемых множителями Лагранжа и составляют функцию
Лагранжа
                                                     m
                                     F(x, λ) = f (x) +∑λi hi (x) .                                  (20)
                                                     i=1
     Можно доказать, что необходимые условия экстремума функции f(x) при
наличии ограничений можно получить, приравняв нулю частные производные
функции F(x, λ) по всем x j , j = 1, n , и по всем λ i , i = 1, m . Точка, в которой
достигается относительный максимум или минимум должна удовлетворять
следующей системе из m + n уравнений
                           ⎧ ∂f (x) m ∂hi (x)
                           ⎪ ∂x + ∑ λi ∂x = 0 , j = 1, n,
                           ⎪      j     i =1       j
                           ⎨                                                    (21)
                           ⎪ ∂f ( x )
                                      = hi (x) = 0, i = 1, m.
                           ⎪⎩ ∂λi
     Каждая точка x*, в которой достигается относительный максимум или
минимум при x ∈ D , будет являться решением системы (21).
     Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет
найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для
непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полу-
ченные в результате решения системы уравнений (21) значения неизвестных xi
могут и не давать экстремального значения функции f(x), точно так же как в за-

                                                                                                       31