Составители:
Рубрика:
31
В критерий f(x) вместо
nmnmn
xxx ,,,
21
K
+−+−
подставляем выражения из
(19)
)),...,,(),...,,...,,(,,...,,()(
2121121 mnmmnmn
xxxxxxxxxff
−−−
=
ψ
ψ
x .
В результате получаем задачу безусловной оптимизации меньшей раз-
мерности
(max)min)),...,,(),...,,...,,(,,...,,(
2121121
→
−−− mnmmnmn
xxxxxxxxxf
ψ
ψ
.
Следовательно, можем воспользоваться необходимыми условиями экс-
тремума и найти решение задачи (17)-(18), решив систему
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
∂
⋅∂
=
∂
⋅
∂
−
0
)(
0
)(
1
mn
x
f
x
f
L .
Самое сложное при таком подходе разрешить систему ограничений,
представив ее в виде (19). Далеко не всегда удается получить разрешение в
форме (19) в элементарных функциях; в этом случае обычно используется ме-
тод множителей Лагранжа.
3.2. Метод множителей Лагранжа
Для решения задачи (17)-(18) вводят набор дополнительных переменных
λ
1
,
λ
1
, …,
λ
m
, называемых множителями Лагранжа и составляют функцию
Лагранжа
∑
=
+=
m
i
ii
hfF
1
)()(),( xxλx
λ
. (20)
Можно доказать, что необходимые условия экстремума функции f(x) при
наличии ограничений можно получить, приравняв нулю частные производные
функции F(x, λ) по всем
j
x , nj ,1
=
, и по всем
i
λ
, mi ,1
=
. Точка, в которой
достигается относительный максимум или минимум должна удовлетворять
следующей системе из
nm + уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
===
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
∑
=
.,1,0)(
)(
,,1,0
)(
)(
1
mih
f
nj
x
h
x
f
i
i
m
i
j
i
i
j
x
x
x
x
λ
λ
(21)
Каждая точка
x
*
, в которой достигается относительный максимум или
минимум при
D∈x , будет являться решением системы (21).
Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет
найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для
непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полу-
ченные в результате решения системы уравнений (21) значения неизвестных x
i
могут и не давать экстремального значения функции f(
x), точно так же как в за-
В критерий f(x) вместо xn−m+1 , xn−m+ 2 , K , xn подставляем выражения из (19) f (x) = f ( x1 , x2 ,..., xn−m ,ψ 1 ( x1 , x2 ,..., xn−m ),...,ψ m ( x1 , x2 ,..., xn−m )) . В результате получаем задачу безусловной оптимизации меньшей раз- мерности f ( x1 , x2 ,..., xn−m ,ψ 1 ( x1 , x2 ,..., xn−m ),...,ψ m ( x1 , x2 ,..., xn−m )) → min (max) . Следовательно, можем воспользоваться необходимыми условиями экс- тремума и найти решение задачи (17)-(18), решив систему ∂f (⋅) ⎫ =0⎪ ∂x1 ⎪ L ⎬. ∂f (⋅) = 0⎪ ∂xn−m ⎪ ⎭ Самое сложное при таком подходе разрешить систему ограничений, представив ее в виде (19). Далеко не всегда удается получить разрешение в форме (19) в элементарных функциях; в этом случае обычно используется ме- тод множителей Лагранжа. 3.2. Метод множителей Лагранжа Для решения задачи (17)-(18) вводят набор дополнительных переменных λ1, λ1, …, λm, называемых множителями Лагранжа и составляют функцию Лагранжа m F(x, λ) = f (x) +∑λi hi (x) . (20) i=1 Можно доказать, что необходимые условия экстремума функции f(x) при наличии ограничений можно получить, приравняв нулю частные производные функции F(x, λ) по всем x j , j = 1, n , и по всем λ i , i = 1, m . Точка, в которой достигается относительный максимум или минимум должна удовлетворять следующей системе из m + n уравнений ⎧ ∂f (x) m ∂hi (x) ⎪ ∂x + ∑ λi ∂x = 0 , j = 1, n, ⎪ j i =1 j ⎨ (21) ⎪ ∂f ( x ) = hi (x) = 0, i = 1, m. ⎪⎩ ∂λi Каждая точка x*, в которой достигается относительный максимум или минимум при x ∈ D , будет являться решением системы (21). Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полу- ченные в результате решения системы уравнений (21) значения неизвестных xi могут и не давать экстремального значения функции f(x), точно так же как в за- 31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »