Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

33
сти S, что хотя и соответствует экстремальной точке функции (22), т.е.
точке минимума, но не удовлетворяет требованию получения заданного объе-
ма V. Поэтому для дальнейших рассуждений имеет смысл только второе зна-
чение r
2
. Подставляя это значение в первое уравнение системы (24) найдем вы-
ражение h через
λ
:
λ
4
=
h .
Теперь можно определить величину
λ
, если подставить в третье урав-
нение системы
(24) значения r и h, выраженные через
λ
:
0
42
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λλ
π
V или 0
16
3
=−
λ
π
V .
Отсюда
3
2
2
V
π
λ
= .
Подставляя далее найденное значение
λ
в формулы для r и h, получим:
м
V
h
м
V
r
084,1
2
1
2
2
2
4
542,0
2
1
2
2
33
33
≈===
≈===
ππλ
ππλ
Далее найдем решение нашей задачи с помощью надстройки
Excel Поиск
решения
. Приведем сразу полученный результат (рис.16), по которому дос-
таточно легко самостоятельно заполнить рабочий лист
Excel.
Рис. 16. Результаты решения задачи нелинейного программирования
Метод множителей Лагранжа можно применять и в том случае, когда ус-
ловия связи представляют собой неравенства, преобразовав их к равенствам,
как показано в п.1.3. Например, ограничения типа
g
i
(x) ≤ 0 можно преобразо-
вать в ограничения в виде равенств путем добавления к каждому из них неот-
рицательной
ослабляющей переменной
2
i
u (отметим, что переменная
2
i
u всегда
положительна):
0)(
2
=+
ii
ug x .
Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве
вспомогательного средства при решении специальными методами других задач,
например в вариационном исчислении и динамическом программировании. 
сти S, что хотя и соответствует экстремальной точке функции (22), т.е.
точке минимума, но не удовлетворяет требованию получения заданного объе-
ма V. Поэтому для дальнейших рассуждений имеет смысл только второе зна-
чение r2. Подставляя это значение в первое уравнение системы (24) найдем вы-
                          4
ражение h через λ:     h= .
                           λ
      Теперь можно определить величину λ, если подставить в третье урав-
нение системы (24) значения r и h, выраженные через λ :
                              2
                          ⎛2⎞ 4                 16π
                     V −π⎜ ⎟       = 0 или V − 3 = 0 .
                          ⎝λ ⎠ λ                 λ
                              2π
Отсюда                 λ=23       .
                               V
      Подставляя далее найденное значение λ в формулы для r и h, получим:
                          2      V 3 1
                       r= =3         =    ≈ 0,542 м
                          λ      2π    2π
                           4   V        1
                      h=       =23=23     ≈ 1,084 м
                        λ      2π      2π
    Далее найдем решение нашей задачи с помощью надстройки Excel Поиск
решения. Приведем сразу полученный результат (рис.16), по которому дос-
таточно легко самостоятельно заполнить рабочий лист Excel.




     Рис. 16. Результаты решения задачи нелинейного программирования

      Метод множителей Лагранжа можно применять и в том случае, когда ус-
ловия связи представляют собой неравенства, преобразовав их к равенствам,
как показано в п.1.3. Например, ограничения типа gi(x) ≤ 0 можно преобразо-
вать в ограничения в виде равенств путем добавления к каждому из них неот-
рицательной ослабляющей переменной ui2 (отметим, что переменная ui2 всегда
положительна):              g i (x) + ui2 = 0 .
     Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве
вспомогательного средства при решении специальными методами других задач,
например в вариационном исчислении и динамическом программировании.
                                                                         33

Страницы