Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 32 стр.

дачах на безусловный экстремум. Поэтому найденные таким образом значения
переменных, вообще говоря, должны быть проверены на экстремум с помощью
анализа производных более высокого порядка или какими либо другими мето-
дами.
       Пример. Рассчитать размеры цилиндрической емкости заданного объе-
ма V= 1 м3 , которая имела бы минимальную поверхность S.
       Решение. Критерием оптимальности рассматриваемой задачи, являет-
ся зависимость величины поверхности от размеров емкости
                              S = 2π (r 2 + rh) → min ,                        (22)
где r – радиус цилиндра; h – его высота.
       В используемых обозначениях объем этой емкости описывается выра-
жением                        V = πr 2 h ,                                     (23)
которое нужно считать ограничением на переменные r и h при минимизации S.
       Поскольку данный пример является достаточно простым, задачу можно
                                                                         V
решить и классическим методом, выразив из условия (23) h:            h=      ,
                                                                        π r2
и подставив это выражение в целевую функцию (22), что приводит ее к виду:
                                      ⎛        V ⎞
                              S = 2π ⎜⎜ r 2 +      ⎟⎟ .
                                      ⎝        π r  ⎠
Таким образом, избавившись от ограничения, мы одновременно сократили
размерность задачи, приведя ее к задаче безусловной оптимизации функции
одной переменной, которую можно решить, воспользовавшись необходимыми
и достаточными условиями экстремума.
       Однако не каждую задачу можно решить подобным образом, поэтому
для примера рассмотрим решение приведенной задачи методом множителей
Лагранжа.
       Для того, чтобы привести условие (23) к виду соотношений (18) перепи-
шем его в форме               V − πr 2 h = 0 .
       Составим далее вспомогательную функцию Лагранжа (20) для этой за-
дачи                          F = 2π (r 2 + rh) + λ (V − πr 2 h) .
       Дифференцированием данного выражения по r, h и λ находим систему
уравнений, соответствующую системе (21):
                           ⎧ ∂F
                           ⎪ ∂r = 2π (2r + h) − 2π λ rh = 0
                           ⎪
                           ⎪ ∂F
                           ⎨    = 2π r − π λ r 2 = 0          .                (24)
                           ⎪ ∂h
                           ⎪ ∂F
                           ⎪ ∂λ = V − π r h = 0
                                             2

                           ⎩
                                                                   2
       Из второго уравнения системы (24) получим r1=0 , r2 = . Первое из най-
                                                                λ
денных значений, как нетрудно видеть, отвечает нулевому значению поверхно-

32