Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 9 стр.

                           n
       2. Неравенство     ∑ aij ⋅ x j ≤ bi можно привести к равенству путем добавле-
                           j =1
          ния к его левой части некоторой неотрицательной величины xn+1≥0, в
          результате чего получаем линейное уравнение, содержащее n+1 неиз-
          вестных:
                           ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn + xn+1 = bi .
          Неотрицательная переменная величина xn+1≥ 0, с помощью которой
          неравенство преобразуется в уравнение, называется дополнительной
          переменной. Число вводимых дополнительных переменных при пре-
          образовании ограничений – неравенств в ограничения – равенства
          равно числу преобразуемых неравенств.
                            n
       3. Неравенство     ∑ aij ⋅ x j ≥ bi     можно привести к форме (2), изменив знак
                           j =1
                                                     n
          левой и правой его частей, т.е.           ∑ − aij ⋅ x j ≤ −bi .
                                                    j =1
       4. Вместо переменной, на которую не наложены условия неотрицатель-
          ности xj , можно ввести две неотрицательные переменные xj′ ≥ 0 и
          xj′′ ≥ 0 следующим образом: xj = xj′ – xj′′.
                                                     n
       5. Условие в форме равенства                 ∑ aij ⋅ x j = bi можно   переписать в виде
                                                    j =1
                                  n                   n
          двух неравенств         ∑ aij ⋅ x j ≥ bi и ∑ aij ⋅ x j ≤ bi .
                                  j =1               j =1
      Наиболее простым образом к канонической форме приводится задача в
симметричной форме с ограничениями A ⋅ x ≤ b . Эту систему ограничений
можно представить в виде системы уравнений, в которую введем дополнитель-
ные неотрицательные переменные xn+1≥ 0, xn+2≥ 0, …, xn+m≥ 0 :
                   ⎧ a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ... + a1n ⋅ xn + xn+1 = b1
                   ⎪ a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x + x = b
                   ⎪ 21 1              22      2             2n       n      n+2        2
                   ⎨                                                                      . (7)
                   ⎪  .......... .............................. .........................
                   ⎪⎩am1 ⋅ x1 + am 2 ⋅ x2 + ... + amn ⋅ xn + xn+ m = bm
      Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный
экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи ЛП отража-
ется расход и наличие производственных ресурсов, то величины xn+i равны объ-
ему неиспользованного ресурса.
      Пример
      Запишем в канонической и табличной форме задачу распределения ресур-
                                            ⎧8 x1 + 5 x2 ≤ 40
                                            ⎪
сов. Добавив к исходной системе ограничений ⎨5 x1 + 6 x2 ≤ 30
                                            ⎪⎩2 x1 + 5 x2 ≤ 20

неотрицательные переменные x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 и x5 ≥ 0, имеем
                                                                                             9