Методы условной оптимизации: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ. Шипилов С.А. - 8 стр.

                                                          ⎧8 x + 5 x2 = 40
     Для определения ее координат решим систему уравнений ⎨ 1               .
                                                          ⎩5 x1 + 6 x2 = 30
Оптимальный план задачи: x1= 90/23 ≈ 3,91; x2= 40/23 ≈ 1,74. Подставляя зна-
чения x1 и x2 в целевую функцию, получаем Fmax=50 ⋅ 3,91 + 40 ⋅ 1,74 ≈ 265,2.
      Таким образом, для того, чтобы получить максимальную прибыль в раз-
мере 265,2 долларов, необходимо запланировать производство 3,91 ед. продук-
ции P1 и 1,74 ед. продукции P2.

                     1.3. Канонический вид задачи ЛП

      Указанные выше в п. 1.1 три формы записи задачи ЛП эквивалентны в
том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может
быть переписана в другой форме. Это означает, что если имеется способ нахо-
ждения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть опреде-
лен оптимальный план любой из трех задач. Наиболее удобной для использова-
ния формальных методов решения является каноническая форма задачи ЛП.
      Задача ЛП вида
                    f (x) = c1 x1 + c2 x 2 + K + cn xn → min(max)
при ограничениях
                          ⎧a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1
                          ⎪a x + a x + K + a x = b
                          ⎪⎪ 21 1     22 2          2n n     2

                           ⎨ LLLLLLLLLL
                           ⎪a x + a x + K + a x = b
                           ⎪ m1 1     m2 2           mn n      m
                           ⎪⎩ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, K xn ≥ 0
или в матричной форме
                                  f (x) = c Τ ⋅ x → max ⎫
                                         A⋅x = b         ⎪
                                                         ⎬                (6)
                                           x≥0           ⎪
                                                         ⎭
называется канонической формой записи задачи ЛП, если каждое i- тое урав-
нение содержит переменную xk такую, что коэффициент перед ней в этом урав-
нении равен 1, а во всех других уравнениях равен 0. Если при этом b1≥0, b2≥0,
bm≥0, то говорят о допустимом каноническом решении. Переменные xk назы-
ваются базисными, остальные – свободными. Иногда под канонической формой
задачи ЛП понимают только систему (6) без каких-либо дополнительных усло-
вий.
     Любую задачу ЛП можно привести к канонической форме (так же как и к
любой другой). Для этого можно использовать следующие приемы.
     1. Замена задачи на максимум задачей на минимум производится, как и в
        других задачах оптимизации, изменением знака f(x), т.е. задача
        f(x)→max эквивалентна –f(x)→min.

8