ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Задача 3.3. Найти приближенное решение уравнения Лапласа для единичного квадрата.
Краевые условия на левой стороне квадрата принять равными 2,5; 5,0; 7,5; 10,0; 7,5; 5,0; 2,5;
остальные краевые значения равны нулю. Вычислить с точностью 0,00001.
Задание 2
Задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравнений парабо-
лического типа.
Задача 2.1. Найти решение уравнения теплопроводности
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
при следующих начальных и краевых условиях
u(x,0)=4x(1-x) (0
≤
x
≤
1);
u(0,t)=0 , u(1,t)=0 (0
≤
t<
∞
) .
Таблица решения при h=1/10
j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
i=0 0 0 0 0 0 0 0
i=1 0.360 0.347 0.336 0.326 0.317 0.309 0.302
i=2 0.040 0.627 0.613 0.600 0.588 0.576 0.564
i=3 0.840 0.827 0.813 0.800 0.787 0.774 0.761
i=4 0.960 0.947 0.933 0.920 0.907 0.894 0.881
i=5 1.000 0.987 0.973 0.960 0.947 0.934 0.921
j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
i=6 0.960 0.947 0.933 0.920 0.907 0.894 0.881
i=7 0.840 0.827 0.813 0.800 0.787 0.774 0.761
i=8 0.640 0.627 0.613 0.600 0.588 0.576 0.564
i=9 0.360 0.347 0.336 0.326 0.317 0.309 0.302
i=10 0 0 0 0 0 0 0
Начальный столбец таблицы (j=0) заполняется на основании заданных начальных условий
u(x
i
,0)=4x
i
(1-x
i
)=0.4i(1-0.1i) (i=0, 1, 2, …,10) .
В первую (i=0) и последнюю (i=10) строки вписываются данные граничных условий
u(0, t
j
)=u(1, t
j
)=0 (j=0, 1, 2,… ).
Остальные столбцы j=0, 1, 2,… таблицы последовательно заполняются с помощью приме-
нения расчетной формулы (7.8). При этом можно учитывать симметрию искомой функции u.
Задача 2.2. Найти приближенное решение уравнения
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
,
удовлетворяющее условиям
u(x ,0)=sin
π
x (0
≤
x
≤
1) , u(0, t)=u(1,t)=0 (0
≤
t
≤
0.025).
Точным решением является функция u(x,t)=
xe
t
π
π
sin
2
−
.
Задача 2.3. Найти приближенное решение уравнения
tx
x
u
t
u
++
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
,
удовлетворяющее начальным и краевым условиям
u(x,0)=(1.1x
2
+1.5)sin
π
x , u(0,t)=0, u(1,t)=0 , 0
≤
t
≤
0.02.
Задача 3.3. Найти приближенное решение уравнения Лапласа для единичного квадрата.
Краевые условия на левой стороне квадрата принять равными 2,5; 5,0; 7,5; 10,0; 7,5; 5,0; 2,5;
остальные краевые значения равны нулю. Вычислить с точностью 0,00001.
Задание 2
Задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравнений парабо-
лического типа.
Задача 2.1. Найти решение уравнения теплопроводности
∂u ∂ 2u
=
∂t ∂x 2
при следующих начальных и краевых условиях
u(x,0)=4x(1-x) (0≤x≤1);
u(0,t)=0 , u(1,t)=0 (0≤t<∞) .
Таблица решения при h=1/10
j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
i=0 0 0 0 0 0 0 0
i=1 0.360 0.347 0.336 0.326 0.317 0.309 0.302
i=2 0.040 0.627 0.613 0.600 0.588 0.576 0.564
i=3 0.840 0.827 0.813 0.800 0.787 0.774 0.761
i=4 0.960 0.947 0.933 0.920 0.907 0.894 0.881
i=5 1.000 0.987 0.973 0.960 0.947 0.934 0.921
j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
i=6 0.960 0.947 0.933 0.920 0.907 0.894 0.881
i=7 0.840 0.827 0.813 0.800 0.787 0.774 0.761
i=8 0.640 0.627 0.613 0.600 0.588 0.576 0.564
i=9 0.360 0.347 0.336 0.326 0.317 0.309 0.302
i=10 0 0 0 0 0 0 0
Начальный столбец таблицы (j=0) заполняется на основании заданных начальных условий
u(xi ,0)=4xi (1-xi )=0.4i(1-0.1i) (i=0, 1, 2, …,10) .
В первую (i=0) и последнюю (i=10) строки вписываются данные граничных условий
u(0, tj )=u(1, tj )=0 (j=0, 1, 2,… ).
Остальные столбцы j=0, 1, 2,… таблицы последовательно заполняются с помощью приме-
нения расчетной формулы (7.8). При этом можно учитывать симметрию искомой функции u.
Задача 2.2. Найти приближенное решение уравнения
∂u ∂ 2u
= ,
∂t ∂x 2
удовлетворяющее условиям
u(x ,0)=sinπx (0≤x≤1) , u(0, t)=u(1,t)=0 (0≤t≤0.025).
2
Точным решением является функция u(x,t)= e −π t sin πx .
Задача 2.3. Найти приближенное решение уравнения
∂u ∂ 2u
= + 2x + t ,
∂t ∂x 2
удовлетворяющее начальным и краевым условиям
u(x,0)=(1.1x2+1.5)sinπx , u(0,t)=0, u(1,t)=0 , 0≤t≤0.02.
