Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2
2
22
1
2
x
u
ka
t
u
kuu
ioio
ioi
∂
∂
+
∂
∂
+≈
. (9.8)
Из начальных условий (9.2), предполагая, что f(х)
∈
С
(2)
[0,l], получаем:
u
io
=f
i ,
i
io
F
t
u
=
∂
∂
,
"
2
2
i
io
f
x
u
=
∂
∂
. (9.9)
Подставляя эти значения в формулу (9.8), окончательно находим
"
22
1
2
iiii
f
ka
kFfu ++≈ . (9.10)
Очевидно, формулу (9.10) целесообразно применять в том случае, когда функция f(х) задана
аналитическим выражением.
Задание 1
Здесь даны задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравне-
ний эллиптического типа.
Задача 1.1. Найти приближенное решение уравнения
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
,
удовлетворяющее на окружности x
2
+y
2
=16 условию
u(x,y)
Г
=x
2
y
2
.
Точным решением является функция
])(256[
8
1
22222
yxyxu +−+= .
Задача 1.2. Найти приближенное решение уравнения Лапласа в квадрате с вершинами
А(0, 0), В(0, 1), С(1, 1), D(1, 0). Краевые условия приведены в таблице 1. Вычисления про-
водить с точностью 0,0001.
Таблица 1
№
u
AB
u
BC
u
CD
u
AD
1 30y 30(1-x
2
) 0 0
2 30y
30cos(πx/2) 30cos(πy/2)
0
3 50y(1-y
2
) 0 0
50sinπx
4 20y 20 20y
2
50x(1-x)
5 0 50x(1-x) 50y(1-y
2
) 50x(1-x)
6
30sinπy
20x 20y 30x(1-x)
7 30(1-y)
20
x
20y 30(1-x)
8
50sinπy
30
x
30y
2
50sinπx
9 40y
2
40 40
40sin((πx/2)
10 50y 50(1-x) 0
60x, 0≤x<1/2
60(1-x),
1/2≤x≤1 
                                    ∂u io a 2 k 2 ∂ 2 u io
                  u i1 ≈ u io + k        +                 .                             (9.8)
                                     ∂t      2     ∂x 2

Из начальных условий (9.2), предполагая, что f(х)∈С(2)[0,l], получаем:
                             ∂u io            ∂ 2 u io
                 uio=fi ,          = Fi ,                = f i" .                        (9.9)
                              ∂t               ∂x 2
Подставляя эти значения в формулу (9.8), окончательно находим

                                      a2k 2 "
                 u i1 ≈ f i + kFi +         fi .                                         (9.10)
                                       2

Очевидно, формулу (9.10) целесообразно применять в том случае, когда функция f(х) задана
аналитическим выражением.

                                                    Задание 1
  Здесь даны задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравне-
ний эллиптического типа.
  Задача 1.1. Найти приближенное решение уравнения

                                                   ∂ 2u       ∂ 2u
                                                          +          =0 ,
                                                   ∂x 2       ∂y 2

удовлетворяющее на окружности x2+y2=16 условию
                                                   u(x,y)Г=x2y2 .
Точным решением является функция
                                                     1
                                        u = x 2 y 2 + [256 − ( x 2 + y 2 ) 2 ] .
                                                     8

  Задача 1.2. Найти приближенное решение уравнения Лапласа в квадрате с вершинами
А(0, 0), В(0, 1), С(1, 1), D(1, 0). Краевые условия приведены в таблице 1. Вычисления про-
водить с точностью 0,0001.
                                                                                     Таблица 1
                  №            uAB              uBC                       uCD      uAD
                  1         30y              30(1-x2)                0             0
                  2         30y              30cos(πx/2)             30cos(πy/2)   0
                  3         50y(1-y2)        0                       0             50sinπx
                  4         20y              20                      20y2          50x(1-x)
                  5         0                50x(1-x)                50y(1-y2)     50x(1-x)
                  6         30sinπy          20x                     20y           30x(1-x)
                  7         30(1-y)          20 x                    20y           30(1-x)
                  8         50sinπy          30 x                    30y2          50sinπx
                  9         40y2             40                      40            40sin((πx/2)
                  10        50y              50(1-x)                 0             60x, 0≤x<1/2
                                                                                   60(1-x),
                                                                                   1/2≤x≤1

Страницы