Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2
2
22
1
2
x
u
ka
t
u
kuu
ioio
ioi
+
+
. (9.8)
Из начальных условий (9.2), предполагая, что f(х)
С
(2)
[0,l], получаем:
u
io
=f
i ,
i
io
F
t
u
=
,
"
2
2
i
io
f
x
u
=
. (9.9)
Подставляя эти значения в формулу (9.8), окончательно находим
"
22
1
2
iiii
f
ka
kFfu ++ . (9.10)
Очевидно, формулу (9.10) целесообразно применять в том случае, когда функция f(х) задана
аналитическим выражением.
Задание 1
Здесь даны задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравне-
ний эллиптического типа.
Задача 1.1. Найти приближенное решение уравнения
0
2
2
2
2
=
+
y
u
x
u
,
удовлетворяющее на окружности x
2
+y
2
=16 условию
u(x,y)
Г
=x
2
y
2
.
Точным решением является функция
])(256[
8
1
22222
yxyxu ++= .
Задача 1.2. Найти приближенное решение уравнения Лапласа в квадрате с вершинами
А(0, 0), В(0, 1), С(1, 1), D(1, 0). Краевые условия приведены в таблице 1. Вычисления про-
водить с точностью 0,0001.
Таблица 1
u
AB
u
BC
u
CD
u
AD
1 30y 30(1-x
2
) 0 0
2 30y
30cos(πx/2) 30cos(πy/2)
0
3 50y(1-y
2
) 0 0
50sinπx
4 20y 20 20y
2
50x(1-x)
5 0 50x(1-x) 50y(1-y
2
) 50x(1-x)
6
30sinπy
20x 20y 30x(1-x)
7 30(1-y)
20
x
20y 30(1-x)
8
50sinπy
30
x
30y
2
50sinπx
9 40y
2
40 40
40sin((πx/2)
10 50y 50(1-x) 0
60x, 0x<1/2
60(1-x),
1/2x1