Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 19 стр.

    Сравнивая это выражение с формулой (8.5), получим
                                                     1
                                ai , j +1 =                       , bi , j +1 = ai −1, j +1bi −1, j +1 + suij    (8.7)
                                              2 + s − ai −1, j +1

                                                                     ( i=2, 3,…, n ).
При i=1 из формул (8.3) и (8.5) имеем
                                                        u0, j +1 − ( 2 + s )u1, j +1 + u2, j +1 = − su1 j

и
                                  u1, j +1 = a1, j +1 (b1, j +1 + u2, j +1 ) .                                  (8.8)

    Отсюда, используя граничные условия, получаем
                                               ϕ (t j +1 ) + su1 j + u2, j +1
                                  u1, j +1 =                                     .                              (8.9)
                                                            2+s
    Так как формулы (8.8) и (8.9) должны быть тождественны, то, сравнивая их, выводим:

                                                1
                                 a1, j +1 =        ,         b1, j +1 = ϕ (t j +1 ) + su1 j .                   (8.10)
                                               2+s
  Пользуясь формулами (7) и (10), производя «прогонку» в прямом направлении {прямой
ход), определяем две последовательности чисел:
                         a1, j +1 , a2, j +1 ,..., an −1, j +1 и b1, j +1 , b2, j +1 ,..., bn −1, j +1 .
  Отсюда, применяя формулы (8.4) и (8.5), с помощью «обратного хода» находим значения
искомой функции:
    un , j +1 = ψ (t j +1 ) ,

    un −1, j +1 = (un, j +1 + bn −1, j +1 )an −1, j +1 ,

    un − 2, j +1 = (un −1, j +1 + bn − 2, j +1 )an − 2, j +1 ,

    ………………………….
    u1, j +1 = (u2, j +1 + b1, j +1 )a1, j +1 .

  Таким образом, указан способ перехода от j-го слоя к (j+1)-му слою. Следовательно, от-
правляясь от известного начального (нулевого) слоя, можно шаг за шагом построить искомое
решение u(х,t) во всех точках сетки (хi ,tj).

                                9. Метод сеток для уравнении гиперболического типа
  Рассмотрим простейшее уравнение гиперболического типа, а именно уравнении свобод-
ных колебаний однородной ограниченной струны:
                                ∂ 2u             ∂ 2u
                                        = a2            ,                                                        (9.1)
                                 ∂t 2            ∂x 2
и будем искать решение уравнения (9.1) при заданных начальных и краевых условиях
                                и(х, 0)=f(х), иt(х,0)=F(х)                       (0≤х≤l)                         (9.2)
и
                                u(0,t)=ϕ(t) , u(l,t)=ψ(t)                       (0≤t<∞) .                        (9.3)