Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Сравнивая это выражение с формулой (8.5), получим
1,1
1,
2
1
+
+
+
=
ji
ji
as
a
,
ijjijiji
subab
+
=
+++ 1,11,11,
(8.7)
( i=2, 3,…, n ).
При i=1 из формул (8.3) и (8.5) имеем
jjjj
suuusu
11,21,11,0
)2(
=
+
+
+++
и
)(
1,21,11,11,1 ++++
+
=
jjjj
ubau . (8.8)
Отсюда, используя граничные условия, получаем
s
usut
u
jjj
j
+
+
+
=
++
+
2
)(
1,211
1,1
ϕ
. (8.9)
Так как формулы (8.8) и (8.9) должны быть тождественны, то, сравнивая их, выводим:
s
a
j
+
=
+
2
1
1,1
,
jjj
sutb
111,1
)(
+
=
++
ϕ
. (8.10)
Пользуясь формулами (7) и (10), производя «прогонку» в прямом направлении {прямой
ход), определяем две последовательности чисел:
1,11,21,1
,...,,
+++ jnjj
aaa и
1,11,21,1
,...,,
+++ jnjj
bbb .
Отсюда, применяя формулы (8.4) и (8.5), с помощью «обратного хода» находим значения
искомой функции:
)(
11, ++
=
jjn
tu
ψ
,
1,11,11,1,1
)(
++++
+=
jnjnjnjn
abuu ,
1,21,21,11,2
)(
++++
+=
jnjnjnjn
abuu ,
………………………….
1,11,11,21,1
)(
++++
+=
jjjj
abuu .
Таким образом, указан способ перехода от j-го слоя к (j+1)-му слою. Следовательно, от-
правляясь от известного начального (нулевого) слоя, можно шаг за шагом построить искомое
решение u(х,t) во всех точках сетки (х
i
,t
j
).
9. Метод сеток для уравнении гиперболического типа
Рассмотрим простейшее уравнение гиперболического типа, а именно уравнении свобод-
ных колебаний однородной ограниченной струны:
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
=
, (9.1)
и будем искать решение уравнения (9.1) при заданных начальных и краевых условиях
и(х, 0)=f(х), и
t
(х,0)=F(х) (0
х
l) (9.2)
и
u(0,t)=
ϕ
(t) , u(l,t)=
ψ
(t) (0
t<
) . (9.3)