Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 17 стр.

                               5          6
                         h 5 ∂ uij h 6 ∂ uij                      ∂uij h 2 ∂ 2uij
                         +         +          −  2u ij + u ij − h       +            −
                          5! ∂x 5     6! ∂x 6                      ∂x     2! ∂x 2
                                    3          4              5           6
                                h3 ∂ uij h 4 ∂ uij h5 ∂ uij h 6 ∂ uij
                             −          +            −             +           )−
                                3! ∂x 3    4! ∂x 4      5! ∂x 5       6! ∂x 6
                    1        ∂uij 2 (σh 2 ) 2 ∂ 2uij (σh 2 )3 ∂ 3uij
                   − (uij +       σh +                  +                 − uij )] + O( h 6 ) .
                    σ         ∂t           2! ∂t   2
                                                              3!     ∂t 3

Отсюда после приведения подобных членов имеем
                                                 ∂ 2uij        ∂uij                  4        2
                                                                                  1 ∂ uij σ ∂ uij
                             Lh[u]= (                      −          ) + h2 (           −        )+
                                                  ∂x 2         ∂t                12 ∂x 4   2 ∂t 2
                                  6        3
                              1 ∂ uij σ 2 ∂ uij
                    + h4 (          6
                                      −      3
                                                ) + O(h 6 ) .                                                      (7.6)
                             360 ∂x     6 ∂t
Так как u(x,t) есть решение уравнения (7.2), то
                             ∂ 2uij             ∂uij           ∂ 4uij       ∂ 2uij       ∂ 6uij       ∂ 3uij
                                            =          ,                =            ,            =            .
                                 ∂x 2           ∂t              ∂x 4         ∂t 2        ∂x 6          ∂t 3
  Заменяя в (7.6) частные производные по t равными им частными производными по х ,
получим

                                 4                6
                            1 σ ∂ uij
                             2        4  1   σ 2 ∂ uij
                 Lh[u]= h ( − ) 4 + h (    −    ) 6 + O(h 6 ) .                                                       (7.7)
                           12 2 ∂x      360 6 ∂x
Выберем число σ так, чтобы первая скобка формулы (7.7) обратилась в нуль, т. е. положим
σ/2=1/12 и, следовательно, σ=1/6. При этом значении σ будем иметь
                                        6                      6
                                1   1 ∂ uij
                                        4         6       h 4 ∂ uij
                    Lh[u]= h (    −   )     + O( h ) = −            + O(h 6 ) .
                               360 216 ∂x 6              540 ∂x 6
В силу (7.5) выполнено равенство Rh[u]= Lh[u] . Поэтому при таком выборе σ для погреш-
ности Rh[u] получаем оценку Rh[u]=О(h4), тогда как при другом выборе числа σ имеем
Rh[u]=О(h2). В этом смысле значение σ=1/6 является для расчетной схемы 1 наилучшим.
   Соответствующая расчетная формула (7.4) при таком выборе σ окончательно принимает
вид:
                 ui, j+1=1/6(ui-1, j+4uij+ui+1, j ) .          (7.8)
Отметим, что оценка ошибки аппроксимации Rh[u] в общем случае для граничных узлов (xi,
tj) не годится.

                    8. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
   Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопровод-
ности шаги h=∆xi и k=∆tj должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для простран-
ственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для
временной координаты t. Важность этого обстоятельства была отмечена Курантом, Фрид-
рихсом и Леви. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h2), причем отноше-
ние σ=k/h2 ограничено сверху, то при малом h продвижение решения и(х ,t) по t весьма
незначительно и объем работы чрезвычайно велик. Например, приняв /г=0,1 и полагая
k=σh2=1/600, получим, что для описания процесса распространения тепла за единичный
промежуток времени 0≤t≤1 требуется таблица, содержащая 600 строк!
   Рассмотрим другую устойчивую вычислительную схему, для которой отношение k/h2 не
является ограниченным сверху и поэтому шаг k=∆tj , временной координаты может быть
выбран сравнительно крупным.