Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

+
+
+
+
2
2
2
6
6
6
5
5
5
!2
2
!6!5
x
u
h
x
u
huu
x
u
h
x
u
h
ijij
ijij
ijij
+
+
)
!6!5!4!3
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
x
u
h
x
u
h
x
u
h
x
u
h
ijijijij
)()]
!3
)(
!2
)(
(
1
6
3
3
32
2
2
22
2
hOu
t
u
h
t
u
h
h
t
u
u
ij
ijijij
ij
+
+
+
+
σσ
σ
σ
.
Отсюда после приведения подобных членов имеем
L
h
[u]= +
+
)
212
1
()(
2
2
4
4
2
2
2
t
u
x
u
h
t
u
x
u
ijijijij
σ
)()
6360
1
(
6
3
3
2
6
6
4
hO
t
u
x
u
h
ijij
+
+
σ
. (7.6)
Так как u(x,t) есть решение уравнения (7.2), то
t
u
x
u
ijij
=
2
2
,
2
2
4
4
t
u
x
u
ijij
=
,
3
3
6
6
t
u
x
u
ijij
=
.
Заменяя в (7.6) частные производные по t равными им частными производными по х ,
получим
L
h
[u]= )()
6360
1
()
212
1
(
6
6
6
2
4
4
4
2
hO
x
u
h
x
u
h
ijij
+
+
σσ
. (7.7)
Выберем число
σ
так, чтобы первая скобка формулы (7.7) обратилась в нуль, т. е. положим
σ
/2=1/12 и, следовательно,
σ
=1/6. При этом значении
σ
будем иметь
L
h
[u]= )(
540
)()
216
1
360
1
(
6
6
6
4
6
6
6
4
hO
x
u
h
hO
x
u
h
ijij
+
=+
.
В силу (7.5) выполнено равенство R
h
[u]= L
h
[u] . Поэтому при таком выборе
σ
для погреш-
ности R
h
[u] получаем оценку R
h
[u]=О(h
4
), тогда как при другом выборе числа
σ
имеем
R
h
[u]=О(h
2
). В этом смысле значение
σ
=1/6 является для расчетной схемы 1 наилучшим.
Соответствующая расчетная формула (7.4) при таком выборе
σ
окончательно принимает
вид:
u
i, j+1
=1/6(u
i-1, j
+4u
ij
+u
i+1, j
) . (7.8)
Отметим, что оценка ошибки аппроксимации R
h
[u] в общем случае для граничных узлов (x
i
,
t
j
) не годится.
8. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопровод-
ности шаги h=
x
i
и k=
t
j
должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для простран-
ственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для
временной координаты t. Важность этого обстоятельства была отмечена Курантом, Фрид-
рихсом и Леви. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h
2
), причем отноше-
ние
σ
=k/h
2
ограничено сверху, то при малом h продвижение решения и(х ,t) по t весьма
незначительно и объем работы чрезвычайно велик. Например, приняв /г=0,1 и полагая
k=
σ
h
2
=1/600, получим, что для описания процесса распространения тепла за единичный
промежуток времени 0
t
1 требуется таблица, содержащая 600 строк!
Рассмотрим другую устойчивую вычислительную схему, для которой отношение k/h
2
не
является ограниченным сверху и поэтому шаг k=
t
j
, временной координаты может быть
выбран сравнительно крупным.