ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
6
6
6
5
5
5
!2
2
!6!5
x
u
h
x
u
huu
x
u
h
x
u
h
ijij
ijij
ijij
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
− )
!6!5!4!3
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
x
u
h
x
u
h
x
u
h
x
u
h
ijijijij
)()]
!3
)(
!2
)(
(
1
6
3
3
32
2
2
22
2
hOu
t
u
h
t
u
h
h
t
u
u
ij
ijijij
ij
+−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+−
σσ
σ
σ
.
Отсюда после приведения подобных членов имеем
L
h
[u]= +
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
)
212
1
()(
2
2
4
4
2
2
2
t
u
x
u
h
t
u
x
u
ijijijij
σ
)()
6360
1
(
6
3
3
2
6
6
4
hO
t
u
x
u
h
ijij
+
∂
∂
−
∂
∂
+
σ
. (7.6)
Так как u(x,t) есть решение уравнения (7.2), то
t
u
x
u
ijij
∂
∂
=
∂
∂
2
2
,
2
2
4
4
t
u
x
u
ijij
∂
∂
=
∂
∂
,
3
3
6
6
t
u
x
u
ijij
∂
∂
=
∂
∂
.
Заменяя в (7.6) частные производные по t равными им частными производными по х ,
получим
L
h
[u]= )()
6360
1
()
212
1
(
6
6
6
2
4
4
4
2
hO
x
u
h
x
u
h
ijij
+
∂
∂
−+
∂
∂
−
σσ
. (7.7)
Выберем число
σ
так, чтобы первая скобка формулы (7.7) обратилась в нуль, т. е. положим
σ
/2=1/12 и, следовательно,
σ
=1/6. При этом значении
σ
будем иметь
L
h
[u]= )(
540
)()
216
1
360
1
(
6
6
6
4
6
6
6
4
hO
x
u
h
hO
x
u
h
ijij
+
∂
∂
−=+
∂
∂
− .
В силу (7.5) выполнено равенство R
h
[u]= L
h
[u] . Поэтому при таком выборе
σ
для погреш-
ности R
h
[u] получаем оценку R
h
[u]=О(h
4
), тогда как при другом выборе числа
σ
имеем
R
h
[u]=О(h
2
). В этом смысле значение
σ
=1/6 является для расчетной схемы 1 наилучшим.
Соответствующая расчетная формула (7.4) при таком выборе
σ
окончательно принимает
вид:
u
i, j+1
=1/6(u
i-1, j
+4u
ij
+u
i+1, j
) . (7.8)
Отметим, что оценка ошибки аппроксимации R
h
[u] в общем случае для граничных узлов (x
i
,
t
j
) не годится.
8. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопровод-
ности шаги h=
∆
x
i
и k=
∆
t
j
должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для простран-
ственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для
временной координаты t. Важность этого обстоятельства была отмечена Курантом, Фрид-
рихсом и Леви. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h
2
), причем отноше-
ние
σ
=k/h
2
ограничено сверху, то при малом h продвижение решения и(х ,t) по t весьма
незначительно и объем работы чрезвычайно велик. Например, приняв /г=0,1 и полагая
k=
σ
h
2
=1/600, получим, что для описания процесса распространения тепла за единичный
промежуток времени 0
≤
t
≤
1 требуется таблица, содержащая 600 строк!
Рассмотрим другую устойчивую вычислительную схему, для которой отношение k/h
2
не
является ограниченным сверху и поэтому шаг k=
∆
t
j
, временной координаты может быть
выбран сравнительно крупным.
5 6
h 5 ∂ uij h 6 ∂ uij ∂uij h 2 ∂ 2uij
+ + − 2u ij + u ij − h + −
5! ∂x 5 6! ∂x 6 ∂x 2! ∂x 2
3 4 5 6
h3 ∂ uij h 4 ∂ uij h5 ∂ uij h 6 ∂ uij
− + − + )−
3! ∂x 3 4! ∂x 4 5! ∂x 5 6! ∂x 6
1 ∂uij 2 (σh 2 ) 2 ∂ 2uij (σh 2 )3 ∂ 3uij
− (uij + σh + + − uij )] + O( h 6 ) .
σ ∂t 2! ∂t 2
3! ∂t 3
Отсюда после приведения подобных членов имеем
∂ 2uij ∂uij 4 2
1 ∂ uij σ ∂ uij
Lh[u]= ( − ) + h2 ( − )+
∂x 2 ∂t 12 ∂x 4 2 ∂t 2
6 3
1 ∂ uij σ 2 ∂ uij
+ h4 ( 6
− 3
) + O(h 6 ) . (7.6)
360 ∂x 6 ∂t
Так как u(x,t) есть решение уравнения (7.2), то
∂ 2uij ∂uij ∂ 4uij ∂ 2uij ∂ 6uij ∂ 3uij
= , = , = .
∂x 2 ∂t ∂x 4 ∂t 2 ∂x 6 ∂t 3
Заменяя в (7.6) частные производные по t равными им частными производными по х ,
получим
4 6
1 σ ∂ uij
2 4 1 σ 2 ∂ uij
Lh[u]= h ( − ) 4 + h ( − ) 6 + O(h 6 ) . (7.7)
12 2 ∂x 360 6 ∂x
Выберем число σ так, чтобы первая скобка формулы (7.7) обратилась в нуль, т. е. положим
σ/2=1/12 и, следовательно, σ=1/6. При этом значении σ будем иметь
6 6
1 1 ∂ uij
4 6 h 4 ∂ uij
Lh[u]= h ( − ) + O( h ) = − + O(h 6 ) .
360 216 ∂x 6 540 ∂x 6
В силу (7.5) выполнено равенство Rh[u]= Lh[u] . Поэтому при таком выборе σ для погреш-
ности Rh[u] получаем оценку Rh[u]=О(h4), тогда как при другом выборе числа σ имеем
Rh[u]=О(h2). В этом смысле значение σ=1/6 является для расчетной схемы 1 наилучшим.
Соответствующая расчетная формула (7.4) при таком выборе σ окончательно принимает
вид:
ui, j+1=1/6(ui-1, j+4uij+ui+1, j ) . (7.8)
Отметим, что оценка ошибки аппроксимации Rh[u] в общем случае для граничных узлов (xi,
tj) не годится.
8. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопровод-
ности шаги h=∆xi и k=∆tj должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для простран-
ственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для
временной координаты t. Важность этого обстоятельства была отмечена Курантом, Фрид-
рихсом и Леви. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h2), причем отноше-
ние σ=k/h2 ограничено сверху, то при малом h продвижение решения и(х ,t) по t весьма
незначительно и объем работы чрезвычайно велик. Например, приняв /г=0,1 и полагая
k=σh2=1/600, получим, что для описания процесса распространения тепла за единичный
промежуток времени 0≤t≤1 требуется таблица, содержащая 600 строк!
Рассмотрим другую устойчивую вычислительную схему, для которой отношение k/h2 не
является ограниченным сверху и поэтому шаг k=∆tj , временной координаты может быть
выбран сравнительно крупным.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
