Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 15 стр.

    Для оценки точности решения, полученного по методу сеток, существуют теоретические
оценки. Как правило, эти оценки весьма сложны и применение их затруднительно. Поэтому
на практике используют двойной пересчет решения с шагами h и 2h. Если соответствующие
результаты совпадают с заданной точностью, то считают, что искомое решение задачи най-
дено правильно. В противном случае применяют пересчет с шагом h/2 и сравнивают полу-
ченный результат с прежним результатом, соответствующим шаг h, и т. д. Отдельно следует
проанализировать влияние ошибок округления. Схема вычислений должна быть устойчивой,
т. е. ошибки решения, связанные с округлением, не должны возрастать неограниченно.

                    7. Метод сеток для уравнения параболического типа
  В качестве примера уравнения параболического типа рассмотрим уравнение теплопро-
водности для однородного стержня 0≤x≤l
                  ∂u     ∂ 2u
                     = a2 2 ,                                             (7.1)
                  ∂t     ∂x
   где и=u(х,t) - температура и t - время. В дальнейшем для простоты будем полагать а=1 (к
такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени τ=a2t ).
   Итак, рассмотрим уравнение
                   ∂u ∂ 2u
                     =     .                                              (7.2)
                   ∂t ∂x 2
Пусть в начальный момент времени t=0 задано распределение температуры u(x,0)=f(x) и
законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах
стержня х=0 и x=l:
u(0,t)=ϕ(t) , u(l,t)=ψ(t) .
   Требуется найти распределение температуры и=и(х,t) вдоль стержня в любой момент
времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [4, 5]. Для этого рассмотрим про-
странственно-временную систему координат (х ,t) (рис. 14). В полуполосе t≥0 , 0≤x≤l по-
строим прямоугольную сетку
x=ih (i=0, 1,…, n), t=jk (j=0, 1, 2,…),
где h=l/n (п - целое) - шаг вдоль оси Ох и k2=σh2 (σ -постоянная) - шаг вдоль оси Ot, вооб-
ще говоря, различны.




                                                             Рис. 14.

Величина σ будет выбрана ниже. Введя обозначения
xi =ih , tj =jk , uij=u(xi , tj )
и заменяя уравнение (7.2) конечно-разностным уравнением, будем иметь
                   ui , j +1 − uij       ui +1, j − 2uij + ui −1, j
                                     =                                .   (7.3)
                       σh   2
                                                    h2
Отсюда
                  ui,j+1=σui-1,j+(1-2σ)uij+σui+1,j .                      (7.4)