Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 15 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Для оценки точности решения, полученного по методу сеток, существуют теоретические
оценки. Как правило, эти оценки весьма сложны и применение их затруднительно. Поэтому
на практике используют двойной пересчет решения с шагами h и 2h. Если соответствующие
результаты совпадают с заданной точностью, то считают, что искомое решение задачи най-
дено правильно. В противном случае применяют пересчет с шагом h/2 и сравнивают полу-
ченный результат с прежним результатом, соответствующим шаг h,
и т. д. Отдельно следует
проанализировать влияние ошибок округления. Схема вычислений должна быть устойчивой,
т. е. ошибки решения, связанные с округлением, не должны возрастать неограниченно.
7. Метод сеток для уравнения параболического типа
В качестве примера уравнения параболического типа рассмотрим уравнение теплопро-
водности для однородного стержня 0
x
l
2
2
2
x
u
a
t
u
=
,
(7.1)
где и=u(х,t) - температура и t - время. В дальнейшем для простоты будем полагать а=1 (к
такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени
τ
=a
2
t ).
Итак, рассмотрим уравнение
2
2
x
u
t
u
=
. (7.2)
Пусть в начальный момент времени t=0 задано распределение температуры u(x,0)=f(x) и
законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах
стержня х=0 и x=l:
u(0,t)=
ϕ
(t) , u(l,t)=
ψ
(t) .
Требуется найти распределение температуры и=и(х,t) вдоль стержня в любой момент
времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [4, 5]. Для этого рассмотрим про-
странственно-временную систему координат (х ,t) (рис. 14). В полуполосе t
0 , 0
x
l по-
строим прямоугольную сетку
x=ih (i=0, 1,…, n), t=jk (j=0, 1, 2,…),
где h=l/n (п - целое) - шаг вдоль оси Ох и k
2
=
σ
h
2
(
σ
-постоянная) - шаг вдоль оси Ot, вооб-
ще говоря, различны.
Рис. 14.
Величина
σ
будет выбрана ниже. Введя обозначения
x
i
=ih , t
j
=jk , u
ij
=u(x
i
, t
j
)
и заменяя уравнение (7.2) конечно-разностным уравнением, будем иметь
2
,1,1
2
1,
2
h
uuu
h
uu
jiijjiijji ++
+
=
σ
. (7.3)
Отсюда
u
i,j+1
=
σ
u
i-1,j
+(1-2
σ
)u
ij
+
σ
u
i+1,j
. (7.4)