Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

6. Метод Либмана
Если число узлов сетки S
h
велико, то непосредственное решение системы (5.2) становит-
ся затруднительным. Кроме того, для криволинейной области G значения функции и в гра-
ничных узлах сетки S
h
выбраны слишком грубо. Эти обстоятельства заставляют для реше-
ния указанной системы прибегать к итерационным методам с одновременным исправлением
граничных значений.
Согласно процессу усреднения Либмана, выбрав начальные приближения
)0(
ij
u , последова-
тельные приближения
)(k
ij
u
для внутренних узлов (x
i
,y
i
) сетки S
h
определяем по формуле
[]
)1(
1,
)1(
1,
)1(
,1
)1(
,1
)(
4
1
−
+
−
−
−
+
−
−
+++=
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ij
uuuuu
(k=1,2, ...). (6.1)
Рис. 13.
Что касается граничных узлов А
h
сетки S
h
, то значения функции и(А
h
) в этих узлах после-
довательно исправляем по формулам линейной интерполяции:
u
(o)
(A
h
)=u(A)=
ϕ
(A) ,
u
(k)
(A
h
)=u(A)+
δ
δ
+
−
−
u
AuBu
k
)()(
)1(
, (k=1,2, …), (6.2)
где А - ближайшая к A
h
точка границы Г (u(А)==
ϕ
(A)), В - ближайший к A
h
внутренний
узел сетки S
h
(рис. 13) и
δ
- удаление узла A
h
, от точки А, причем
δ
>0, если A
h
- внутрен-
няя точка области G, и
δ
<0, если A
h
- внешняя точка области G. В частном случае, если
узел A
h
лежит на границе Г (A
h
≡
A,
δ
=0), то имеем точно
u
(k)
(A
h
)=u(A)=
ϕ
(A).
На практике после некоторого шага h можно считать u
(k)
(A
h
) неизменными (например,
если эти значения установятся с заданной точностью).
За начальные значения
)(o
ij
u теоретически можно взять любую систему чисел. Однако сле-
дует иметь в виду, что в силу принципа максимума для значений искомой функции и(х, у)
должны быть выполнены неравенства
m
≤
u
ij
≤
M ,
где границе Г: m=min
ϕ
(P) и M=max
ϕ
(P). Поэтому разумно полагать
m
≤
)(o
ij
u
≤
M .
В [1] и [3] доказаны, что для любого шага сетки h метод Либмана независимо от выбо-
ра начальных значений сходится, т. е. существует
ij
k
ij
k
uu =
∞→
)(
lim
, причем погрешность при-
ближенного решения имеет порядок O(h
2
). 
                                                               6. Метод Либмана
   Если число узлов сетки Sh велико, то непосредственное решение системы (5.2) становит-
ся затруднительным. Кроме того, для криволинейной области G значения функции и в гра-
ничных узлах сетки Sh выбраны слишком грубо. Эти обстоятельства заставляют для реше-
ния указанной системы прибегать к итерационным методам с одновременным исправлением
граничных значений.
  Согласно процессу усреднения Либмана, выбрав начальные приближения u ij( 0) , последова-
тельные приближения u ij(k ) для внутренних узлов (xi,yi) сетки Sh определяем по формуле


                  u ij( k ) =
                                4
                                   [
                                1 ( k −1)
                                  u i −1, j + u i(+k1−,1j) + u i(,kj−−11) + u i(,kj−+11)   ]   (k=1,2, ...).   (6.1)




                                                                      Рис. 13.

Что касается граничных узлов Аh сетки Sh , то значения функции и(Аh) в этих узлах после-
довательно исправляем по формулам линейной интерполяции:
                                u(o)(Ah)=u(A)=ϕ(A) ,
                                                  u ( k −1) ( B ) − u ( A)
                  u(k)(Ah)=u(A)+                                           δ , (k=1,2, …),                     (6.2)
                                                            u +δ
где А - ближайшая к Ah точка границы Г (u(А)==ϕ(A)), В - ближайший к Ah внутренний
узел сетки Sh (рис. 13) и δ - удаление узла Ah , от точки А, причем δ>0, если Ah - внутрен-
няя точка области G, и δ<0, если Ah - внешняя точка области G. В частном случае, если
узел Ah лежит на границе Г (Ah ≡A, δ=0), то имеем точно
                                    u(k)(Ah)=u(A)=ϕ(A).
   На практике после некоторого шага h можно считать u(k)(Ah) неизменными (например,
если эти значения установятся с заданной точностью).
  За начальные значения u ij(o ) теоретически можно взять любую систему чисел. Однако сле-
дует иметь в виду, что в силу принципа максимума для значений искомой функции и(х, у)
должны быть выполнены неравенства
                                                                   m≤ uij ≤M ,

где границе Г: m=minϕ(P) и M=maxϕ(P). Поэтому разумно полагать
                                                                  m≤ u ij(o ) ≤M .
    В [1] и [3] доказаны, что для любого шага сетки h метод Либмана независимо от выбо-
 ра начальных значений сходится, т. е. существует lim u ij( k ) = u ij , причем погрешность при-
                                                                                               k →∞

 ближенного решения имеет порядок O(h2).

Страницы