Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 12 стр.

1) в плоской области G, в которой разыскивается решение, строится сеточная область Gh,
состоящая из одинаковых ячеек (рис. 11) и приближающая данную область G;
2) заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответст-
вующим конечно-разностным уравнением;

3) на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в гранич-
ных узлах области Gh.
  Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для чего решается система
линейных алгебраическую уравнений с большим числом неизвестных, мы найдем значения
искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение нашей задачи.
  Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех
случаях контур Гh сеточной области Gh следует выбирать так, чтобы он как можно лучше
аппроксимировал контур Г заданной области G.
   Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и других
клеток. От выбора основного размера клетки h зависит величина остаточного члена Rh при
замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер h тео-
ретически должен определяться требованием, чтобы этот оста-точный член был меньше по-
грешности, допустимой при решении. Однако такой путь не всегда целесообразен, так как
получаемый при этом размер h настолько мал и, следовательно, число клеток настолько ве-
лико, что решение оказывается практически невыполнимым.
   Обычно задача решается сначала при большом значении h, т. е. при малом числе клеток,
и лишь после того, как задача грубо приближенно решена для этой крупной сетки, переходят
к более мелкой сетке или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь ее части.
  Покажем применение метода сеток для построения решения задачи Дирихле
                ∂ 2u       ∂ 2u
                       +          =0 при (x,y)∈ G и и(Р)=ϕ(Р) при P∈ Г,     (5.1)
                ∂x 2       ∂y 2

где ϕ(Р)= ϕ(x,y) - заданная непрерывная функция, причем для простоты рассмотрим лишь
случай квадратной сетки. Будем предполагать, что область G ограничена простым замкну-
тым кусочно-гладким контуром Г.




                                                                 Рис. 12.