Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 11 стр.

   Вторая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у+h), С(х+h, у+h), D(х+h, у-
h), Е(х-h, у-h), лежащие в центре и вершинах квадрата (рис. 10).
   Как и в первой схеме, выразим значения функции и в точках В, С, D, Е через значения
этой функции и ее производных в точке А.
    Полагая n=4 в формуле (4.3), получим:
                                           1 2
u(x+h,y-h)= u(x,y)+h(ux – uy)+                h (uxx -2uxy + uyy)+
                                           2!
                        1 3                                     1 4 ∂ ∂ 4
                    +      h (uxxx -3uxxy +3uxyy - uyyy)+   +      h ( − ) u (ξ 1 ,η 1 ) ,
                        3!                                      4!    ∂x ∂y
                                           1 2
u(x-h,y-h)= u(x,y)+h(-ux – uy)+               h (uxx +2uxy + uyy)+
                                           2!
                        1 3                                 1      ∂  ∂
                    +      h (-uxxx -3uxxy -3uxyy - uyyy)+ + h 4 (− − ) 4 u (ξ 2 , η 2 ) ,              (4.8)
                        3!                                  4!     ∂x ∂y

                                            1 2
u(x-h,y+h)= u(x,y)+h(-ux + uy)+                h (uxx -2uxy + uyy)+
                                            2!
                    1 3                               1      ∂  ∂
                +      h (-uxxx +3uxxy -3uxyy+uyyy)+ + h 4 (− + ) 4 u (ξ 3 , η 3 ) ,
                    3!                                4!     ∂x ∂y

                                            1 2
u(x+h,y+h)= u(x,y)+h(ux + uy)+                 h (uxx +2uxy + uyy)+
                                            2!
    1 3                            1     ∂  ∂
+      h (uxxx +3uxxy +3uxyy+uyyy)+ h 4 ( + ) 4 u (ξ 4 , η 4 ) .
    3!                             4!    ∂x ∂y
   Складывая равенства (4.8), будем иметь
u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x-h,y+h)+ +u(x+h,y+h)=4u(x,y)+2 h 2 ∆u+О(h4),
откуда
       1
∆u=        2
               [ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)-4u(x,y)]+О(h2) .
      2h
    Отбрасывая остаточный член О(h2), получаем, что уравнение Лапласа ∆u=0 прибли-
женно можно заменить конечно-разностным уравнением
               1
u(x,y)=          [ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)].
               4
                                      5. Решение задачи Дирихле методом сеток
  Идея метода сеток (или, метода конечных разностей) для численного решения краевых за-
дач для двумерных дифференциальных уравнений заключается:




                                                                                             Рис. 11.