Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Вторая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у+h), С(х+h, у+h), D(х+h, у-
h), Е(х-h, у-h), лежащие в центре и вершинах квадрата (рис. 10).
Как и в первой схеме, выразим значения функции и в точках В, С, D, Е через значения
этой функции и ее производных в точке А.
Полагая n=4 в формуле (4.3), получим:
u(x+h,y-h)= u(x,y)+h(u
x
– u
y
)+
!2
1
2
h (u
xx
-2u
xy
+ u
yy
)+
+
!3
1
3
h (u
xxx
-3u
xxy
+3u
xyy
- u
yyy
)+ +
),()(
!4
1
11
44
ηξ
u
yx
h
,
u(x-h,y-h)= u(x,y)+h(-u
x
– u
y
)+
!2
1
2
h (u
xx
+2u
xy
+ u
yy
)+
+
!3
1
3
h
(-u
xxx
-3u
xxy
-3u
xyy
- u
yyy
)+ + ),()(
!4
1
22
44
ηξ
u
yx
h
, (4.8)
u(x-h,y+h)= u(x,y)+h(-u
x
+ u
y
)+
!2
1
2
h (u
xx
-2u
xy
+ u
yy
)+
+
!3
1
3
h (-u
xxx
+3u
xxy
-3u
xyy
+u
yyy
)+ + ),()(
!4
1
33
44
ηξ
u
yx
h
+
,
u(x+h,y+h)= u(x,y)+h(u
x
+ u
y
)+
!2
1
2
h
(u
xx
+2u
xy
+ u
yy
)+
+
!3
1
3
h (u
xxx
+3u
xxy
+3u
xyy
+u
yyy
)+ ),()(
!4
1
44
44
ηξ
u
yx
h
+
.
Складывая равенства (4.8), будем иметь
u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x-h,y+h)+ +u(x+h,y+h)=4u(x,y)+2
2
h
u+О(h
4
),
откуда
u=
2
2
1
h
[ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)-4u(x,y)]+О(h
2
) .
Отбрасывая остаточный член О(h
2
), получаем, что уравнение Лапласа
u=0 прибли-
женно можно заменить конечно-разностным уравнением
u(x,y)=
4
1
[ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)].
5. Решение задачи Дирихле методом сеток
Идея метода сеток (или, метода конечных разностей) для численного решения краевых за-
дач для двумерных дифференциальных
уравнений заключается:
Рис. 11.