Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 9 стр.

задача называется задачей Дирихле, вторая — задачей Неймана и третья — смешанной крае-
вой задачей.
                                    4. Уравнение Лапласа в конечных разностях
  Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа
                             ∂ 2u       ∂ 2u
                                    +          =0,                                                                     (4.1)
                             ∂x 2       ∂y 2

                                                                                                ∂ 2u        ∂ 2u
достаточно, выбрав шаг h>0, заменить производные                                                       и            отношениями конечных
                                                                                                ∂x 2        ∂y 2
разностей по формулам
            ∂ 2u         u ( x + h) − 2u ( x, y ) + u ( x − h, y )            ∂ 2u         u ( x, y + h) − 2u ( x, y ) + u ( x, y − h)
                 2
                     ≈                             2
                                                                      ,            2
                                                                                       ≈                                                 .
            ∂x                                 h                              ∂y                              h2
  Тогда будем иметь
                          u ( x + h) − 2u ( x, y ) + u ( x − h, y )           u ( x, y + h) − 2u ( x, y ) + u ( x, y − h)
                                                                          +                                               =0
                                                   h   2
                                                                                                 h2
и, отсюда
                          u(x,y)=1/4[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)]                                                (4.2)
  Однако, для того, чтобы оценить точность такой замены используем формулу Тейлора
                                                                                                                        2
                                                                 ∂     ∂            1  ∂   ∂ 
                              f(x+h,y+k)=f(x,y)+                   h+   k  f(x,y)+  h + k  ×
                                                                 ∂x    ∂y           2!  ∂x ∂y 
                                                                               n
                                                           1  ∂     ∂ 
                               × f(x,y)+…+                     h +   k  f(x+Θh,y+Θk),                            (4.3)
                                                           n!  ∂x   ∂y 

где 0 < Θ < 1.
  При этом используются различные схемы. Рассмотрим две основные схемы.
   Первая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у), С(х+h, у), D(х, у+h), Е(х, у-
h), лежащие в центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 9), и выразим значения функ-
ции и в точках В, С, D, Е через значения этой функции и ее производных в центральной
точке квадрата А(х, у). Согласно формуле (4.3), полагая в ней n=4, имеем:




                                                                      Рис. 9.