Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 9 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

задача называется задачей Дирихле, втораязадачей Неймана и третьясмешанной крае-
вой задачей.
4. Уравнение Лапласа в конечных разностях
Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа
2
2
2
2
y
u
x
u
+
=0, (4.1)
достаточно, выбрав шаг h>0, заменить производные
2
2
x
u
и
2
2
y
u
отношениями конечных
разностей по формулам
22
2
),(),(2)(
h
yhxuyxuhxu
x
u
++
,
22
2
),(),(2),(
h
hyxuyxuhyxu
y
u
++
.
Тогда будем иметь
2
),(),(2)(
h
yhxuyxuhxu
+
+
+
2
),(),(2),(
h
hyxuyxuhyxu
+
+
=0
и, отсюда
u(x,y)=1/4[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] (4.2)
Однако, для того, чтобы оценить точность такой замены используем формулу Тейлора
f(x+h,y+k)=f(x,y)+
+
k
y
h
x
f(x,y)+
!2
1
2
+
k
y
h
x
×
×
f(x,y)+…+
!
1
n
n
k
y
h
x
+
f(x+Θh,y+Θk), (4.3)
где 0 < Θ < 1.
При этом используются различные схемы. Рассмотрим две основные схемы.
Первая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у), С(х+h, у), D(х, у+h), Е(х, у-
h), лежащие в центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 9), и выразим значения функ-
ции и в точках В, С, D, Е через значения этой функции и ее производных в центральной
точке квадрата А(х, у). Согласно формуле (4.3), полагая в ней n=4, имеем:
Рис. 9.