Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 8 стр.

                3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
  Исследования стационарных процессов различной физической природы (колебания, теп-
лопроводность и др.) часто приводят к уравнениям эллиптического типа
                         ∂ 2u ∂ 2u             ∂u              ∂u
                 L[u]≡        + 2 + a ( x, y )    + b ( x, y )    + c( x, y )u =F(x, y), (3.1)
                         ∂x 2
                               ∂y              ∂x              ∂y

где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и F(х, у) — непрерывные функции. Для этих уравнений обычно
ставятся лишь краевые задачи, так как задача Коши, как было cказано в предыдущем па-
раграфе, для уравнений эллиптического типа может быть некорректной.
   Наиболее часто встречаются следующие краевые задачи.
   Первая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непре-
рывная функция          ϕ(Р) = ϕ(х, у). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетво-
ряющую внутри G уравнению (3.1) и принимающую на границе заданные значения ϕ(Р) , т.
е. должны быть выполнены условия: L[и(Р)]=F[P] при P∈ G;
и(Р)=ϕ(Р) при P∈ Г.




                                                   Рис. 8.
   Вторая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G, задана непрерывная
функция ϕ1(Р). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетворяющую внутри G урав-
нению (3.1), нормальная производная которой на Г принимает заданные значения ϕ1(Р) , т.е.
требуется, чтобы
                                       L[и(Р)]=F[P] при P∈ G;
                                        ∂u ( P)
                                                =ϕ1(Р)    при P∈ Г.
                                         ∂n

  Третья краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непре-
рывная функция ψ(P)=ψ(x, y). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) такую, чтобы
L[и(Р)]=F[P] при P∈ G;
                                        ∂u ( P)
                         αo и(Р)+ α1            =ψ(P) при P∈ Г,
                                         ∂n

где αо + α1 ≠0.
  Третью краевую задачу можно рассматривать как общую. Действительно, при αo =1 и
α1= 0 получаем первую краевую задачу, а при αo = 0 и α1=1 — вторую краевую задачу. За-
метим, что если область G ограниченная, то соответствующая краевая задача называется
внутренней, в противном случае — внешней. Для уравнения Лапласа ∆u=0 первая краевая