Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

u(x-h,y)= u(x,y) - hu
x
+
!2
1
2
h u
xx
-
!3
1
3
h u
xxx
+
xxxx
uh
4
!4
1
,
u(x+h,y)=u(x,y)+hu
x
+
!2
1
2
h u
xx
+
!3
1
3
h u
xxx
+
xxxx
uh
4
!4
1
, (4.4)
u(x,y-h)= u(x,y) – hu
y
+
!2
1
2
h
u
yy
-
!3
1
3
h
u
yyy
+
yyyy
uh
4
!4
1
,
u(x,y+h)= u(x,y)+ hu
y
+
!2
1
2
h u
yy
+
!3
1
3
h u
yyy
+
yyyy
uh
4
!4
1
,
где u
x
, u
y
, u
xx
, u
yy
, u
xxx
, u
yyy
- значения производных в точке А(х, у), а
xxxx
u
,
xxxx
u
,
yyyy
u ,
yyyy
u производные в некоторых промежуточных точках.
Складывая равенства (4.4), получим
u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=
=4u(x,y)+
2
h (u
xx
+ u
yy
)+R
h
(x,y) , (4.5)
где остаточный член
R
h
(x,y)=
!4
4
h
[
xxxx
u
+
xxxx
u
+
yyyy
u +
yyyy
u ] при u
∈
C
(4)
имеет порядок О(h
4
). Отсюда будем иметь
u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=4u(x,y)+
2
h
∆
u+О(h
4
),
и, следовательно,
∆
u=
2
1
h
[ u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)- 4u(x,y)]+О(h
2
) (4.6)
Формула (4.6) выражает оператор Лапласа
∆
u через конечные разности и называется
первой основной конечно-разностной формой оператора Лапласа. Отбрасывая в уравнении
(4.6) член О(h
2
), получим, что уравнению Лапласа
∆
u=0 приближенно соответствует сле-
дующее уравнение в конечных разностях:
u(x,y)=
4
1
[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] , (4.7)
что совпадает с уравнением (4.2).
Рис. 10. 
                              1 2       1         1
u(x-h,y)= u(x,y) - hux+          h uxx - h 3 uxxx+ h 4 u xxxx ,
                              2!        3!        4!


                              1 2       1         1
u(x+h,y)=u(x,y)+hux+             h uxx + h 3 uxxx+ h 4 u xxxx ,       (4.4)
                              2!        3!        4!

                               1 2       1         1
u(x,y-h)= u(x,y) – huy+           h uyy - h 3 uyyy+ h 4 u yyyy    ,
                               2!        3!        4!

                               1 2       1         1
u(x,y+h)= u(x,y)+ huy+            h uyy + h 3 uyyy+ h 4 u      ,
                               2!        3!        4!     yyyy




где ux , uy , uxx , uyy , uxxx , uyyy - значения производных в точке А(х, у), а u xxxx , u xxxx , u yyyy ,
u yyyy производные в некоторых промежуточных точках.

   Складывая равенства (4.4), получим
                   u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=
                             =4u(x,y)+ h 2 (uxx+ uyy)+Rh(x,y) ,               (4.5)
где остаточный член
           h4
Rh(x,y)=      [ u xxxx + u xxxx + u yyyy + u yyyy ] при u∈ C(4) имеет порядок О(h4). Отсюда будем иметь
           4!
u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=4u(x,y)+ h 2 ∆u+О(h4),
и, следовательно,
                   1
             ∆u=       2
                           [ u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)- 4u(x,y)]+О(h2)         (4.6)
                   h
   Формула (4.6) выражает оператор Лапласа ∆u через конечные разности и называется
первой основной конечно-разностной формой оператора Лапласа. Отбрасывая в уравнении
(4.6) член О(h2), получим, что уравнению Лапласа ∆u=0 приближенно соответствует сле-
дующее уравнение в конечных разностях:
                                   1
                           u(x,y)= [u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] ,       (4.7)
                                   4

что совпадает с уравнением (4.2).




                                                      Рис. 10.

Страницы