Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 7 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Вместо производной
x
u
можно задавать производную
у
u
, так как на кривой γ имеем
x
u
dx+
у
u
dy=d
ϕ
(x, y) ,
x
Ф
dx+
у
Ф
dy= 0 . (2.16)
Можно также задавать нормальную производную
n
u
=
x
u
cos(n, x)+
у
u
cos(n, y).
Задача Коши обычно ставится для линейного уравнения (2.11) гиперболического и пара-
болического типов.
Рис. 6. Рис. 7.
Если уравнение (2.11) гиперболического типа, то для единственности решения задачи
Коши необходимо, чтобы начальная кривая γ не являлась характеристикой [1]. Если это
последнее условие выполнено и начальные данные заданы на конечной дуге РQ кривой γ ,
то решение задачи Коши, вообще говоря, определено и однозначно в криволинейном тре-
угольнике РQR (область распространения}, образованном дугой РQ и дугами характери-
стик РR. и QR различных семейств, проходящих через концы Р и Q (рис. 6). Предпола-
гается, что коэффициенты дифференциального уравнения определены и непрерывны в соот-
ветствующей области.
Пусть начальные данные Коши для уравнения (2.11) заданы на отрезке а
х
Ь , а реше-
ние и=и(х, у) этого уравнения надо определить в полуполосе К{ а
х
Ь; 0
у<
} (рис. 7).
Тогда для однозначности этого решения дополнительно нужно задать условия на прямых
х=а и х=Ь, что приводит к смешанной задаче. Достаточно общей задачей этого типа явля-
ется нахождение в полуполосе К решения и=и(х,у) дифференциального уравнения (2.11),
удовлетворяющего начальным и граничным условиям:
u(x, 0)=
ϕ
(x), и
у
(х, 0)=
ϕ
1
(x) ( а
х
Ь, y=0 ) (2.17)
и
α
о
u(a, y)+
α
1
u
x
(a, y)=
ψ
(y),
β
о
u(b, y)+
β
1
u
x
(b, y)=
ψ
1
(y), (2.18)
где
α
о
+
α
1
≠0,
β
о
+
β
1
≠0, 0<y<
.
Для уравнений эллиптического типа задача Коши обычно не рассматривается. Это
объясняется тем, что, как правило, задача Коши для уравнений этого типа поставлена не-
корректно, т. е. ничтожно малые изменения начальных данных могут повлечь сущест-
венное изменение решения.