Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 7 стр.

                         ∂u                            ∂u
    Вместо производной      можно задавать производную    , так как на кривой γ имеем
                         ∂x                            ∂у

                 ∂u    ∂u                 ∂Ф     ∂Ф
                    dx+ dy=dϕ(x, y) ,        dx+    dy= 0 .          (2.16)
                 ∂x    ∂у                 ∂x     ∂у

Можно также задавать нормальную производную
                                ∂u ∂u         ∂u
                                  = cos(n, x)+ cos(n, y).
                                ∂n ∂x         ∂у
  Задача Коши обычно ставится для линейного уравнения (2.11) гиперболического и пара-
болического типов.




                            Рис. 6.                        Рис. 7.

   Если уравнение (2.11) гиперболического типа, то для единственности решения задачи
Коши необходимо, чтобы начальная кривая γ не являлась характеристикой [1]. Если это
последнее условие выполнено и начальные данные заданы на конечной дуге РQ кривой γ ,
то решение задачи Коши, вообще говоря, определено и однозначно в криволинейном тре-
угольнике РQR (область распространения}, образованном дугой РQ и дугами характери-
стик РR. и QR различных семейств, проходящих через концы Р и Q (рис. 6). Предпола-
гается, что коэффициенты дифференциального уравнения определены и непрерывны в соот-
ветствующей области.
   Пусть начальные данные Коши для уравнения (2.11) заданы на отрезке а≤ х≤ Ь , а реше-
ние и=и(х, у) этого уравнения надо определить в полуполосе К{ а≤ х≤ Ь; 0≤ у<∞ } (рис. 7).
Тогда для однозначности этого решения дополнительно нужно задать условия на прямых
х=а и х=Ь, что приводит к смешанной задаче. Достаточно общей задачей этого типа явля-
ется нахождение в полуполосе К решения и=и(х,у) дифференциального уравнения (2.11),
удовлетворяющего начальным и граничным условиям:
                u(x, 0)= ϕ(x), иу(х, 0)= ϕ1(x) ( а≤ х≤ Ь, y=0 )  (2.17)
и
                 αоu(a, y)+α1ux(a, y)=ψ(y),
                βоu(b, y)+β1ux(b, y)=ψ1(y),                          (2.18)
где αо + α1 ≠0, βо + β1 ≠0, 0