Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
, (2.8)
где а - постоянная. В начальный момент t=t
o
обычно задаются форма струны и распределение ско-
ростей ее точек. Это дает начальные условия
u(x, t
o
)=
ϕ
(x), u(x, t
o
)=
ϕ
1
(x), (2.9)
где
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) - известные функции, определенные в интервале 0<х<1. В зависимости от способов
заделки концов струны х=0 и х=1 будем иметь следующие основные краевые условия.
1.
Конец жестко закреплен:
u(0, t
)=0 (или u(l, t
)=0 ). (2.10’)
2. Конец упруго закреплен:
u
х
(0, t
) – k
1
u(0, t
)=0 (или u
х
(0, t
) – k
2
u(0, t
)=0 ), (2.10’’)
где k
1
и k
2
- положительные постоянные.
3. Конец свободен:
u
х
(0, t
)=0 (или u
х
(l, t
)=0 ). (2.10’’’)
При достаточной гладкости функций
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) задача (2.9) - (2.10) имеет единственное реше-
ние.
Теперь рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями. Пусть дано ли-
нейное дифференциальное уравнение
L[u]=F(x, y), (2.11)
где
L[u]= +
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
),(),(2),(
y
u
yxC
yx
u
yxB
x
u
yxA
uyxc
y
u
yxb
x
u
yxa ),(),(),( +
∂
∂
+
∂
∂
+
. (2.12)
Отыскание решения и=и(х, у) уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным условиям
и(х, у
0
)=
ϕ
(x) , и
у
(х, у
0
)=
ϕ
1
(x) , (2.13)
называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных данных Коши.
Задача Коши имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 4): требуется найти
интегральную поверхность и=и(х, у) уравнения (2.11), проходящую через данную простран-
ственную кривую
у= у
0
, и=
ϕ
(x) 
                       ∂ 2u          ∂ 2u
                              = a2           ,                                                          (2.8)
                       ∂t 2          ∂x 2
где а - постоянная. В начальный момент t=to обычно задаются форма струны и распределение ско-
ростей ее точек. Это дает начальные условия
                       u(x, to )=ϕ(x),           u(x, to )=ϕ1(x),                                      (2.9)
где ϕ(x) и ϕ1(x) - известные функции, определенные в интервале 0<х<1. В зависимости от способов
заделки концов струны х=0 и х=1 будем иметь следующие основные краевые условия.
   1. Конец жестко закреплен:
                    u(0, t )=0 (или u(l, t )=0 ).                                                     (2.10’)
   2. Конец упруго закреплен:
                  uх(0, t ) – k1 u(0, t )=0 (или uх(0, t ) – k2 u(0, t )=0 ),                         (2.10’’)
где k1 и k2 - положительные постоянные.
   3. Конец свободен:
                              uх(0, t )=0 (или uх(l, t )=0 ).                                         (2.10’’’)
   При достаточной гладкости функций ϕ(x) и ϕ1(x) задача (2.9) - (2.10) имеет единственное реше-
ние.
   Теперь рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями. Пусть дано ли-
нейное дифференциальное уравнение
                 L[u]=F(x, y),                                 (2.11)
где

                                                     ∂ 2u                 ∂ 2u               ∂ 2u
                                L[u]= A( x, y )           + 2 B ( x , y )      + C ( x , y )      +
                                                     ∂x 2                 ∂x∂y               ∂y 2

                                         ∂u             ∂u
                          + a ( x, y )      + b( x, y )    + c( x, y )u .                        (2.12)
                                         ∂x             ∂y

Отыскание решения и=и(х, у) уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным условиям
                 и(х, у0)= ϕ(x) , иу(х, у0)= ϕ1(x) ,             (2.13)
называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных данных Коши.
   Задача Коши имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 4): требуется найти
интегральную поверхность и=и(х, у) уравнения (2.11), проходящую через данную простран-
ственную кривую
у= у0 , и=ϕ(x)

Страницы