Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 5 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
=
, (2.8)
где а - постоянная. В начальный момент t=t
o
обычно задаются форма струны и распределение ско-
ростей ее точек. Это дает начальные условия
u(x, t
o
)=
ϕ
(x), u(x, t
o
)=
ϕ
1
(x), (2.9)
где
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) - известные функции, определенные в интервале 0<х<1. В зависимости от способов
заделки концов струны х=0 и х=1 будем иметь следующие основные краевые условия.
1.
Конец жестко закреплен:
u(0, t
)=0 (или u(l, t
)=0 ). (2.10’)
2. Конец упруго закреплен:
u
х
(0, t
) – k
1
u(0, t
)=0 (или u
х
(0, t
) – k
2
u(0, t
)=0 ), (2.10’’)
где k
1
и k
2
- положительные постоянные.
3. Конец свободен:
u
х
(0, t
)=0 (или u
х
(l, t
)=0 ). (2.10’’’)
При достаточной гладкости функций
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) задача (2.9) - (2.10) имеет единственное реше-
ние.
Теперь рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями. Пусть дано ли-
нейное дифференциальное уравнение
L[u]=F(x, y), (2.11)
где
L[u]= +
+
+
2
22
2
2
),(),(2),(
y
u
yxC
yx
u
yxB
x
u
yxA
uyxc
y
u
yxb
x
u
yxa ),(),(),( +
+
+
. (2.12)
Отыскание решения и=и(х, у) уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным условиям
и(х, у
0
)=
ϕ
(x) , и
у
(х, у
0
)=
ϕ
1
(x) , (2.13)
называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных данных Коши.
Задача Коши имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 4): требуется найти
интегральную поверхность и=и(х, у) уравнения (2.11), проходящую через данную простран-
ственную кривую
у= у
0
, и=
ϕ
(x)