Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные
данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущ-
ности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых перемен-
ных дифференциального уравнения играет роль времени, а другаяпространственной ко-
ординаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к на-
чальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксирован-
ным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого ли-
нейного континуума) — краевыми.
Пример 2.1. Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть, концов) однородный нагре-
тый стержень 0
x l , где I - длина стержня (рис. 3). Температура стержня u=u(х,t) в точке х (0<х<
/) для любого момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности
2
2
2
x
u
a
t
u
=
, (2.1)
где а - постоянная.
Рис. 3.
В начальный момент t=t
o
внутренних точек стержня обычно задается начальное распределение
температуры. Это приводит к начальному условию
u(x, t
o
)=f(x) (2.2)
при 0 < х < I, где f(x) - известная функция. Условие (1.2) не обеспечивает однозначности решения
дифференциального уравнения (2.1), так как физически ясно, что распределение температуры u(х,t)
в стержне для последующих моментов времени t>t
o
существенно зависит от того, в каком состоянии
находятся концы стержня x=0 и х=1 (есть ли там утечка тепла, каков тепловой режим и т. п.).
В зависимости от состояния конца x=0 имеем следующие, основные краевые условия.
1. Конец стержня х=0 поддерживается при заданной' температуре
u(0, t
)=
ϕ
(t) (2.3)
где
ϕ
(t) - известная функция. В частности, если эта температура равна нулю, то краевое условие бу-
дет
u(0, t
)=0. (2.4)
2. Конец стержня х=0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружающую среду отсутствует:
u
х
(0, t
)=0. (2.5)
3. На конце стержня х=0 происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура
которой меняется по заданному закону
u(0, t
)+
α
u
х
(0, t
)=
ϕ
(t) (2.6)
где
α
- постоянная и
ϕ
(t) - известная функция. В частности, если температура внешней среды равна
нулю, то получим
u(0, t
)+
α
u
х
(0, t
)=0. (2.7)
Смешанное краевое условие (2.6) в некотором смысле можно считать общим, а именно, полагая
α
=0, получим краевое условие (2.3), а при
α
= будем иметь краевое условие (2.5). Возможны и другие
типы краевых условии. Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х=1. Комбинируя
краевые условия для концов х=0 и х=1, буцем иметь краевые задачи для стержня, которые при нали-
чии начального условия (2.2), вообще говоря, имеют единственные решения.
Пример 2.2. Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины I
(0<х< /). Поперечное смещение u=u(х,t) при 0<х</ для любого момента времени t удовлетворяет
волновому уравнению