Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 3 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

D = 0 — параболический тип;
D < 0— гиперболический тип;
D не сохраняет постоянного знакасмешанный тип.
Тип линейного уравнения (1.2) является его важной особенностью и сохраняется при лю-
бом невырожденном преобразовании
ξ=φ(х, у), η=ψ(х, у), (1.3)
т. е. в таком, что якобиан
0
),(
ψ),(
yx
ϕ
.
Пример 1.1. Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е.
при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравне-
нию Лапласа [1, 2]
0
2
2
2
2
=
+
y
u
x
u
. (1.4)
Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AСВ
2
> 0, т. е. уравнение (1.4) эллиптического типа.
Пример 1.2. Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каж-
дого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности [2]
),(
2
2
2
txF
x
u
a
t
u
=
, (1.5)
где а - постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) - функция, связанная с плот-
ностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение
теплопроводности имеет вид
2
2
2
x
u
a
t
u
=
. (1.6)
Очевидно, что уравнения теплопроводности (1.5) и (1.6) - параболического типа.
Пример 1.3. Поперечное смещение и=и (х, у) точки однородной струны с абсциссой х (рис. 2) в
случае наличия внешней силы для каждого момента t удовлетворяет неоднородному одномерному
волновому уравнению [1, 2]
Рис. 2.
),(
2
2
2
2
2
txF
x
u
a
t
u
=
, (1.7)
где а - постоянная и F(х, t) - функция, зависящая от внешней силы.. Уравнение (1.7) носит название
уравнения колебаний струны. Если внешняя сила отсутствует (свободные колебания), то уравнение
колебаний струны имеет вид
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
=
. (1.8)
Уравнения колебаний струны (1.7) и (1.8) относятся к гиперболическому типу.
2. Начальные и краевые условия. Задача Коши.
Дифференциальное уравнение с частными производными имеет в общем случае бесчис-
ленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью
уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса