Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 3 стр.

D = 0 — параболический тип;
D < 0— гиперболический тип;
D не сохраняет постоянного знака—смешанный тип.
   Тип линейного уравнения (1.2) является его важной особенностью и сохраняется при лю-
бом невырожденном преобразовании
                    ξ=φ(х, у), η=ψ(х, у),                         (1.3)
т. е. в таком, что якобиан
                                          ∂ (ϕ , ψ)
                                                    ≠ 0.
                                           ∂ ( x, y )
  Пример 1.1. Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е.
при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравне-
нию Лапласа [1, 2]
                   ∂ 2u ∂ 2u
                        +    = 0.                                      (1.4)
                   ∂x 2 ∂y 2
Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AС—В2 > 0, т. е. уравнение (1.4) эллиптического типа.
   Пример 1.2. Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каж-
дого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности [2]
                     ∂u       ∂ 2u
                         − a 2 2 = F ( x, t ) ,                           (1.5)
                      ∂t      ∂x
где а - постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) - функция, связанная с плот-
ностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение
теплопроводности имеет вид
                     ∂u       ∂ 2u
                         = a2 2 .                                         (1.6)
                     ∂t       ∂x
Очевидно, что уравнения теплопроводности (1.5) и (1.6) - параболического типа.
   Пример 1.3. Поперечное смещение и=и (х, у) точки однородной струны с абсциссой х (рис. 2) в
случае наличия внешней силы для каждого момента t удовлетворяет неоднородному одномерному
волновому уравнению [1, 2]




                                               Рис. 2.

                    ∂ 2u          ∂ 2u
                           − a2      = F ( x, t ) ,                       (1.7)
                     ∂t 2      ∂x 2
где а - постоянная и F(х, t) - функция, зависящая от внешней силы.. Уравнение (1.7) носит название
уравнения колебаний струны. Если внешняя сила отсутствует (свободные колебания), то уравнение
колебаний струны имеет вид
                     ∂ 2u        2
                              2 ∂ u
                          = a        .                                   (1.8)
                     ∂t 2       ∂x 2
Уравнения колебаний струны (1.7) и (1.8) относятся к гиперболическому типу.

                            2. Начальные и краевые условия. Задача Коши.
   Дифференциальное уравнение с частными производными имеет в общем случае бесчис-
ленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью
уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса