Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 2 стр.

                                                    Введение
  Дифференциальные уравнения с частными производными встречаются в самых различ-
ных областях естествознания, причем решение их в аналитическом виде (в виде конечной
формулы) удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными
численные (приближенные) методы решения этих уравнений.
   В методических указаниях будут кратко описаны численные методы решения некоторых
задач для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными. При этом будут рассмотрены только методы решения линей-
ных дифференциальных уравнений с частными производными.
   Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения дифферен-
циальных уравнений с частными производными является метод сеток или метод конечных
разностей, поэтому основной упор, в методических указаниях, сделан на пояснение и описа-
ние этого метода.


     1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
  В общем случае дифференциальное уравнение с частными производными имеет вид
                F ( x, y, u , u x , u y , u xx , u xy , u yy ) = 0 (1.1)
где x, у - независимые переменные, u - искомая функция, ux , uy , uxx , uxy , uyy – её первые и
вторые частные производные по аргументам x и y.
   Решением уравнения (1.1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в
тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (инте-
гральная поверхность) (рис. 1).




                                                      Рис. 1.
  Уравнение (1.1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно ис-
комой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравне-
ние может быть записано в виде
                      ∂ 2u          ∂ 2u   ∂ 2u  ∂u    ∂u
                  A          + 2B        +C 2 +a    +b    + cu = F ( x, y ) ,   (1.2)
                      ∂x 2          ∂x∂y   ∂y    ∂x    ∂y
причем коэффициенты А, В, С, а, Ь, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если
эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (1.2) будет линейным дифференциаль-
ным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное диффе-
ренциальное уравнения (1.2).
   Пусть D=АС-В2 - дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное
дифференциальное уравнение (1.2) относится в заданной области к одному из следующих
типов:
D > 0 — эллиптический тип;