ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Выбрав шаг h, построим квадратную сетку
x
i
=x
o
+ih, y
j
=y
o
+jh (i, j=0, ±1, ±2, ...)
с таким расчетом, чтобы узлы (x
i
, y
j
) сетки S
h
или принадлежали области G, или отстояли
от ее границы Г на расстоянии меньшем, чем h.
Узлы сетки S
h
называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси
Ох или оси Оу на расстояние, равное шагу сетки h. Узел A
h
сетки S
h
называется внутрен-
ним, если он принадлежит области G, а все четыре соседних с ним узла - множеству S
h
, в
противном случае он называется граничным (например, узлы В
h
и С
h
сетки S
h
) (на рис. 12
внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные -темными кружками и тем-
ными треугольниками).
Граничный узел сетки S
h
, называется узлом первого рода, если он имеет соседний внут-
ренний узел этой сетки (например, узел B
h
на рис. 12); в противном случае граничный узел
называется узлом второго рода (узел С
h
на рис. 12). Внутренние узлы и граничные узлы пер-
вого рода сетки S
h
называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не вхо-
дят в вычисление и могут быть изъяты из сетки S
h
(на рис. 12 граничные узлы второго рода
обозначены темными треугольниками).
Относительно сетки S
h
предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е.
любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемен-
та которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточ-
ную область G
h
выбранной так, чтобы ее геометрическая граница Г
h
, возможно ближе при-
мыкала к границе Г области G. Заметим, что узловые точки контура Г
h
могут лежать как
внутри, так и вне области G.
Значение искомой функции и=и(х,у) в точках (х
i
,у
j
) обозначим через u
ij
=u(х
i
,у
j
). Следуя
общей схеме, для каждой внутренней точки (х
i
,у
j
) сетки S
h
, заменяем дифференциальное
уравнение (5.1) конечно-разностным уравнением
u
ij
=
4
1
(u
i-1,j
+u
i+1,j
+u
i,j-1
+u
i,j+1
) , (5.2)
где (x
i±1
, у
j±1
) - расчетные точки.
В граничных узлах первого рода В
h
сетки S
h
полагаем
u(В
h
)=и(В)=
ϕ
(В), (5.3)
где В - ближайшая к В
h
точка границы Г.
Система (5.2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е.
число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (5.2) всегда совместна и
имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответ-
ствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Однородная система, очевидно,
формально может быть записана в виде системы (5.2), с той лишь разницей, что значение
функции
ϕ
(Р) на границе Г следует положить тождественно равным нулю:
ϕ
(Р)=0.
Однородная система (5.2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное реше-
ние u
ij
≡
0.
Решив систему (5.2), получим приближенные значения искомой функции и=и(х,y) в уз-
лах сеточной области G
h
. Тем самым будет найдено приближенное численное решение за-
дачи Дирихле для области G
h
.
Выбрав шаг h, построим квадратную сетку
xi=xo+ih, yj=yo+jh (i, j=0, ±1, ±2, ...)
с таким расчетом, чтобы узлы (xi , yj) сетки Sh или принадлежали области G, или отстояли
от ее границы Г на расстоянии меньшем, чем h.
Узлы сетки Sh называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси
Ох или оси Оу на расстояние, равное шагу сетки h. Узел Ah сетки Sh называется внутрен-
ним, если он принадлежит области G, а все четыре соседних с ним узла - множеству Sh , в
противном случае он называется граничным (например, узлы Вh и Сh сетки Sh ) (на рис. 12
внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные -темными кружками и тем-
ными треугольниками).
Граничный узел сетки Sh , называется узлом первого рода, если он имеет соседний внут-
ренний узел этой сетки (например, узел Bh на рис. 12); в противном случае граничный узел
называется узлом второго рода (узел Сh на рис. 12). Внутренние узлы и граничные узлы пер-
вого рода сетки Sh называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не вхо-
дят в вычисление и могут быть изъяты из сетки Sh (на рис. 12 граничные узлы второго рода
обозначены темными треугольниками).
Относительно сетки Sh предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е.
любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемен-
та которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточ-
ную область Gh выбранной так, чтобы ее геометрическая граница Гh, возможно ближе при-
мыкала к границе Г области G. Заметим, что узловые точки контура Гh могут лежать как
внутри, так и вне области G.
Значение искомой функции и=и(х,у) в точках (хi ,уj) обозначим через uij=u(хi ,уj). Следуя
общей схеме, для каждой внутренней точки (хi ,уj) сетки Sh, заменяем дифференциальное
уравнение (5.1) конечно-разностным уравнением
1
uij= (ui-1,j+ui+1,j+ui,j-1+ui,j+1) , (5.2)
4
где (xi±1, уj±1) - расчетные точки.
В граничных узлах первого рода Вh сетки Sh полагаем
u(Вh)=и(В)=ϕ(В), (5.3)
где В - ближайшая к Вh точка границы Г.
Система (5.2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е.
число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (5.2) всегда совместна и
имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответ-
ствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Однородная система, очевидно,
формально может быть записана в виде системы (5.2), с той лишь разницей, что значение
функции ϕ (Р) на границе Г следует положить тождественно равным нулю: ϕ (Р)=0.
Однородная система (5.2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное реше-
ние uij≡0.
Решив систему (5.2), получим приближенные значения искомой функции и=и(х,y) в уз-
лах сеточной области Gh . Тем самым будет найдено приближенное численное решение за-
дачи Дирихле для области Gh .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
