Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Выбрав шаг h, построим квадратную сетку
x
i
=x
o
+ih, y
j
=y
o
+jh (i, j=0, ±1, ±2, ...)
с таким расчетом, чтобы узлы (x
i
, y
j
) сетки S
h
или принадлежали области G, или отстояли
от ее границы Г на расстоянии меньшем, чем h.
Узлы сетки S
h
называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси
Ох или оси Оу на расстояние, равное шагу сетки h. Узел A
h
сетки S
h
называется внутрен-
ним, если он принадлежит области G, а все четыре соседних с ним узла - множеству S
h
, в
противном случае он называется граничным (например, узлы В
h
и С
h
сетки S
h
) (на рис. 12
внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные -темными кружками и тем-
ными треугольниками).
Граничный узел сетки S
h
, называется узлом первого рода, если он имеет соседний внут-
ренний узел этой сетки (например, узел B
h
на рис. 12); в противном случае граничный узел
называется узлом второго рода (узел С
h
на рис. 12). Внутренние узлы и граничные узлы пер-
вого рода сетки S
h
называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не вхо-
дят в вычисление и могут быть изъяты из сетки S
h
(на рис. 12 граничные узлы второго рода
обозначены темными треугольниками).
Относительно сетки S
h
предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е.
любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемен-
та которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточ-
ную область G
h
выбранной так, чтобы ее геометрическая граница Г
h
, возможно ближе при-
мыкала к границе Г области G. Заметим, что узловые точки контура Г
h
могут лежать как
внутри, так и вне области G.
Значение искомой функции и=и(х,у) в точках (х
i
,у
j
) обозначим через u
ij
=u(х
i
,у
j
). Следуя
общей схеме, для каждой внутренней точки (х
i
,у
j
) сетки S
h
, заменяем дифференциальное
уравнение (5.1) конечно-разностным уравнением
u
ij
=
4
1
(u
i-1,j
+u
i+1,j
+u
i,j-1
+u
i,j+1
) , (5.2)
где (x
i±1
, у
j±1
) - расчетные точки.
В граничных узлах первого рода В
h
сетки S
h
полагаем
u(В
h
)=и(В)=
ϕ
(В), (5.3)
где В - ближайшая к В
h
точка границы Г.
Система (5.2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е.
число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (5.2) всегда совместна и
имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответ-
ствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Однородная система, очевидно,
формально может быть записана в виде системы (5.2), с той лишь разницей, что значение
функции
ϕ
(Р) на границе Г следует положить тождественно равным нулю:
ϕ
(Р)=0.
Однородная система (5.2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное реше-
ние u
ij
0.
Решив систему (5.2), получим приближенные значения искомой функции и=и(х,y) в уз-
лах сеточной области G
h
. Тем самым будет найдено приближенное численное решение за-
дачи Дирихле для области G
h
.