Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 15.
Из рассмотрения формулы (7.4) ясно, что, зная значения функции и(х,t) в точках j-го слоя
t=jk , с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х,t) в точках следующего
(j'+1)-го слоя t=(j+1)k (риc. 15). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами -
явная схема вида (рис. 15).
Таким образом, исходя из начального слоя t=0, значения и(х,t) для которого определяются
из начального условия
u(x
i
,0)=f(x
i
) , (i=0, 1,…, n),
и используя значения функции u(х,t) в крайних узлах (0, t
j
), (l, t
j
) (j=0, 1, 2,…), определяе-
мые граничными условиями
u(0,t
j
)=
ϕ
(t
j
) , u(l,t
j
)=
ψ
(t
j
) ,
по формуле (7.4) последовательно вычисляем:
u(x
i
,t
1
) , u(x
i
,t
2
) , u(x
i
,t
3
) ,… (i=0, 1,…, n),
т. е. находим значения искомой функции и(х,t) во всех узлах полуполосы.
Остается разумно выбрать величину
σ
. При этом будем исходить из требования, чтобы
ошибка при замене дифференциального уравнения (7.2) конечно-разностным уравнением
(7.3) была наименьшей.
Введем обозначения:
L[u]=
t
u
x
u
∂
∂
−
∂
∂
2
2
,
L
h
[u]=1/h
2
[(u
i+1,j
–2u
ij
+u
i-1,j
)-1/
σ
(u
i,j+1
–u
ij
)] ,
где L
h
[u] - конечно-разностный оператор, соответствующий дифференциальному операто-
ру L[и].
Разность
R
h
[u]= L
h
[u] - L[и] ,
называемая ошибкой аппроксимации, есть погрешность, которая получается при замене опе-
ратора L[и] оператором L
h
[u]. Вычислим эту погрешность в узлах (x
i
,t
j
) сетки для функции
и(х, у), являющейся решением уравнения (7.2). При этом L[и]=0 и
R
h
[u]= L
h
[u] . (7.5)
Учитывая, что
u
i+1, j
=u(x
i
+h,t
j
) , u
i-1, j
=u(x
i
-h,t
j
), u
i, j+1
=u(x
i
, t
j
+
σ
h
2
) ,
и разлагая L
h
[u] по формуле Тейлора в окрестности точки (x
i
, t
j
)
ограничиваясь членами
порядка h
6
, находим
L
h
[u]= +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
4
4
4
3
3
3
2
2
2
2
!4!3!2
[(
1
x
u
h
x
u
h
x
u
h
x
u
hu
h
ijijijij
ij
                                                Рис. 15.

    Из рассмотрения формулы (7.4) ясно, что, зная значения функции и(х,t) в точках j-го слоя
t=jk , с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х,t) в точках следующего
(j'+1)-го слоя t=(j+1)k (риc. 15). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами -
явная схема вида (рис. 15).
    Таким образом, исходя из начального слоя t=0, значения и(х,t) для которого определяются
из начального условия
                                  u(xi ,0)=f(xi) , (i=0, 1,…, n),
и используя значения функции u(х,t) в крайних узлах (0, tj), (l, tj) (j=0, 1, 2,…), определяе-
мые граничными условиями
                            u(0,tj )=ϕ(tj ) , u(l,tj )=ψ(tj ) ,
по формуле (7.4) последовательно вычисляем:
                         u(xi ,t1) , u(xi ,t2) , u(xi ,t3) ,… (i=0, 1,…, n),
т. е. находим значения искомой функции и(х,t) во всех узлах полуполосы.
    Остается разумно выбрать величину σ. При этом будем исходить из требования, чтобы
ошибка при замене дифференциального уравнения (7.2) конечно-разностным уравнением
(7.3) была наименьшей.
    Введем обозначения:
                                                    ∂ 2u ∂u
                                            L[u]=       −   ,
                                                    ∂x 2 ∂t
                        Lh[u]=1/h2[(ui+1,j –2uij+ui-1,j )-1/σ(ui,j+1 –uij )] ,
где Lh[u] - конечно-разностный оператор, соответствующий дифференциальному операто-
ру L[и].
  Разность
                                                  Rh[u]= Lh[u] - L[и] ,
называемая ошибкой аппроксимации, есть погрешность, которая получается при замене опе-
ратора L[и] оператором Lh[u]. Вычислим эту погрешность в узлах (xi ,tj) сетки для функции
и(х, у), являющейся решением уравнения (7.2). При этом L[и]=0 и
                       Rh[u]= Lh[u] .                                   (7.5)
Учитывая, что
ui+1, j =u(xi+h,tj ) , ui-1, j =u(xi-h,tj ), ui, j+1=u(xi, tj+σh2) ,
и разлагая Lh[u] по формуле Тейлора в окрестности точки (xi , tj) ограничиваясь членами
порядка h6, находим
                               1             ∂uij h 2 ∂ 2uij h 3 ∂ 3uij h 4 ∂ 4uij
                      Lh[u]=      [(u ij + h     +          +          +           +
                               h2             ∂x   2! ∂x 2    3! ∂x 3    4! ∂x 4

Страницы