Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ширапов Д.Ш. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим по-прежнему в области G{0
≤
х
≤
l , 0
≤
t<
∞
} приведенное уравнение теплопро-
водности
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(8.1)
с граничными и начальными условиями
и(0, t)=
ϕ
(0) , и(l, t)=
ψ
(t), и (х, 0)=f(х). (8.2)
Построим в области G прямоугольную сетку
x
i
=ih (i=0, 1,…, n), t
j
=jk (j=0, 1, 2,…),
где h=l/п (п - целое) и k - некоторая положительная величина. Пусть и
ij
=u(x
i
,t
j
).
Используя приближенную симметричную формулу для второй производной по x и при-
меняя формулу численного дифференцирования по t «назад», для (j+1)-го слоя сетки вме-
сто дифференциального уравнения (8.1) будем иметь следующее конечно-разностное уравне-
ние:
k
uu
h
uuu
ijjijijiji
−
=
+−
+++++− 1,
2
1,11,1,1
2
, ,...)2,1,0;1,1( =−= jni ,
или
u
i-1, j+1
–(2+s)u
i,j+1
+u
i+1,j+1
=-su
ij
(8.3)
где s=h
2
/k.
Таким образом, здесь использована схема 2 (неявная схема) (рис. 16).
Из граничных условий (8.2) получаем
u
o ,j+1
=
ϕ
(t
j+1
) , u
n ,j+1
=
ψ
(t
j+1
). (8.4)
Рис. 16.
Систему (8.3)-(8.4) будем решать методом прогонки. Пусть
)(
1,11,1,1, +++++
+
=
jijijiji
ubau (8.5)
и, следовательно,
)(
1,1,11,11,1 ++−+−+−
+
=
jijijiji
ubau (8.6)
Подставляя выражение (8.6) в формулу (8.3), будем иметь
ijjijijijiji
suuusuba
−
=
+
+
−
+
+++++−+− 1,11,1,1,11,1
)2()( ,
отсюда
1,1
1,11,11,1
1,
2
+−
+++−+−
+
−+
+
+
=
ji
jiijjiji
ji
as
usuba
u
. 
  Рассмотрим по-прежнему в области G{0≤х≤l , 0≤t<∞} приведенное уравнение теплопро-
водности
                  ∂u ∂ 2u
                    =                                                                                                  (8.1)
                  ∂t ∂x 2
с граничными и начальными условиями
                 и(0, t)=ϕ(0) , и(l, t)=ψ(t), и (х, 0)=f(х).                                                           (8.2)
  Построим в области G прямоугольную сетку
                                  xi=ih (i=0, 1,…, n), tj=jk (j=0, 1, 2,…),
где h=l/п (п - целое) и k - некоторая положительная величина. Пусть иij=u(xi ,tj).
   Используя приближенную симметричную формулу для второй производной по x и при-
меняя формулу численного дифференцирования по t «назад», для (j+1)-го слоя сетки вме-
сто дифференциального уравнения (8.1) будем иметь следующее конечно-разностное уравне-
ние:
                    ui −1, j +1 − 2ui , j +1 + ui +1, j +1           ui , j +1 − uij
                                           2
                                                                =                      , (i = 1, n − 1; j = 0,1,2,...) ,
                                       h                                    k
или
                  ui-1, j+1 –(2+s)ui,j+1+ui+1,j+1=-suij                                                               (8.3)
         2
где s=h /k.
  Таким образом, здесь использована схема 2 (неявная схема) (рис. 16).
  Из граничных условий (8.2) получаем
                 uo ,j+1=ϕ(tj+1) , un ,j+1=ψ (tj+1).                                                                  (8.4)




                                                                    Рис. 16.
  Систему (8.3)-(8.4) будем решать методом прогонки. Пусть
                  ui , j +1 = ai , j +1 (bi , j +1 + ui +1, j +1 )                                                    (8.5)

                                                         и, следовательно,
                  u i −1, j +1 = a i −1, j +1 (bi −1, j +1 + u i , j +1 )                                             (8.6)
  Подставляя выражение (8.6) в формулу (8.3), будем иметь
                           a i −1, j +1 (bi −1, j +1 + u i , j +1 ) − (2 + s )u i , j +1 + u i +1, j +1 = − su ij ,

отсюда
                                                ai −1, j +1bi −1, j +1 + suij + ui +1, j +1
                                 u i , j +1 =                                                 .
                                                          2 + s − ai −1, j +1

Страницы