Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 55 стр.

       Задача − максимизация полезности членов клуба при приведенном бюджетном ограничении.
       max U ( y, Q, N )
        y ,Q , N


                            С (Q, N )
       при условии y +                =I.
                               N
       Функция Лагранжа этой задачи:
                                          C (Q, N )
        L = U ( y , Q, N ) + λ[ I − y −             ].
                                             N
       Будем рассматривать внутреннее равновесие, это тем более оправданно, что случаи Q=0 и
N=0 в данном случае неинтересны. Нас интересуют оптимальные параметры клуба, а не условия, при
которых его возникновение возможно. Тем более, что эти условия, очевидно, включают факторы, не
включенные в модель.
       Условия первого порядка:
        ∂L
           =Uy −λ = 0,
        ∂y
         ∂L              1
            = U Q − λC Q   = 0,
         ∂Q              N
        ∂L        N ⋅ C N − C ( y , Q, N )
           =UN −λ                          = 0,
        ∂y                 N2
        ∂L          C (Q, N )
           = I − y−           = 0.
        ∂λ             N
       Откуда получаем:
                                    U Q CQ
                       MRS QY =          =
                                    Uy      N
                                                                                       (*)
       MRS Ny = U N = N ⋅ C N − C ( y, Q, N ) = C N − C ( y, Q, N ) .
               Uy             N2               N          N2

                                            CN
       В последнем выражении                   представляет собой приходящуюся на одного члена часть
                                            N
                                                                     C (⋅)
предельных издержек поддержания возможностей клуба, а                      − уменьшение денежного взноса,
                                                                     N2
приходящегося на одного члена с ростом на единицу числа членов клуба без учета изменения
издержек на подержание возможностей клуба. То есть, если бы C не зависело от N, то, поскольку
                                                                               С
                                                                             ∂( )
С                                                                                  C
  − размер взноса одного члена, то предельное увеличение взноса было бы равно N = − 2 .
N                                                                             ∂N   N
       Если просуммировать предельные нормы замещения частного блага клубным, выведенные в
верхнем уравнении системы (*), то получим, что N⋅MRSQy=CQ, то есть при заданном N выполнено
условие Самуэльсона.
       Предположим, что MC(Q) возрастают.
                                                                                                       55