Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 75 стр.

         Утверждение. Если при нечетном числе избирателей на Х заданы линейный порядок и
профиль одновершинных предпочтений и эти предпочтения не приводят к эквивалентности для двух
различных альтернатив, то порожденное попарным голосованем по правилу простого большинства
ранжирование (социальное бинарное отношение) полно, транзитивно.
         Доказательство.
         Полнота следует из возможности попарного сравнения любых альтернатив.
         Для доказательство транзитивности предположим, что xRy и yRz.
         При сделанных предположениях о нечетности числа избирателей и невозможности
безразличия между двумя альтернативами, число лиц, голосующих за одну альтернативу из
предложенной пары не может совпасть с числом лиц, голосующих за другую. Значит выполнено xPy
и yPz.
         Ограничим наши предпочтения, заданные на множестве X, на множество X′. Они в этом
случае также являются одновершинными относительно первоначально заданного линейного порядка.
Мы доказали в предыдущем утверждении ацикличность получаемого при голосовании по правилу
простого большинства социального ранжирования. Значит, должен найтись максимизирующий
элемент. Но таким элементом не может быть ни z, ни y. Значит, максимизирующей является
альтернатива x и транзитивность доказана.
         Приведем близкий к реалистичномуй пример, когда одновершинность может нарушаться.
Предположим, что в некотором небольшом населенном пункте расходы на треднее образование
сверх некоторого минимума финансируются из местных налогов. У каждого избирателя стоит выбор
между следующими альтернативами:
         высокие налоги и высокий уровень образования для его детей;
         отсутствие специального местного налога и тот минимальный уровень образования,
финансирование которого обеспечивается центральным правительством,
         а также промежуточный вариант, когда налоги относительно невелики, но качество
образования тоже не очень высокое. То есть качество образования монотонно возрастает с ростом
налога.
         Можно привести примеры людей, которые предпочтут второй вариант третьему, а третий
первому. Это те, кто считает, что его детям нужно получить ремесло, для которого нужны иные
навыки, чем обеспечиваемые школой. То есть для него чем меньше расходы, тем лучше.
         Противоположный случай − лица, которые считают, что их детям после школы необходимо
учиться дальше, а для получения хорошей (с их точки зрения) профессии, чем выше уровень
школьного образования, тем лучше.
         Найдутся также и люди, которые предпочтут средний уровень. Это, кстати, может оказаться
самым типичным случаем, если расходы, требующиеся для обеспечения высокого качества, очень
велики.


                                                                                              75