Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

73
подмножестве альтернатив, не меньших, чем х, R строго убывает по отношению к ≥, то есть если x ≥
z > y, то zPy, а если y >z ≥ x, то zPy.
Для заданных линейного порядка ≥ на Х и рациональных отношений предпочтений R на Х
обозначим R
≥
⊂R множество всех одновершинных по отношению к ≥ рациональных предпочтений.
Если задано множество агентов I, то R
≥
I
− ограничение множества определения (множество
профилей одновершинных предпочтений).
Пусть на R
≥
I
общественные предпочтения определяются путем попарного голосования по
правилу простого большинства. То есть при заданном профиле (P
1
,…,P
I
)∈ R
≥
I
для любой пары (x,y)
принадлежащих X альтернатив мы принимаем xRy, если число агентов, которые строго
предпочитают x больше или равно числу агентов, которые строго предпочитают y, то есть #{i∈I: xP
i
y}≥ #{i∈I: yP
i
y}.
При некотором заданном профиле предпочтений (P
1
,…,P
I
)∈ R
≥
I
для каждого I обозначим
через x
i
максимизирующую P
i
на Х альтернативу. Будем называть ее вершиной.
Определение. Агент h∈I называется медианным агентом (медианным избирателем) для
профиля (P
1
,…,P
I
)∈ R
≥
I
, если число агентов, вершины которых не больше вершины агента h и число
агентов, вершины которых не меньше вершины агента h, оба больше, чем ½I, то есть #{i∈I: x
i
≥ x
h
}≥
½I и #{ i∈I: x
i
≤ x
h
}≥ ½I.
На рисунке 4.3.1 изображены кривые, отражающие ранжирование предпочтений пятью
избирателями. Предпочтения одновершинны. Для избирателя h как число агентов, имеющих
вершины не меньшие, чем x
h
, так и число агентов, имеющих вершины не больше, чем x
h
, равно трем.
Медианный избиратель всегда существует.
Если I нечетно и нет совпадающих вершин, то
2
1
−
I
избирателей имеют вершины строго
меньшие, чем у медианного избирателя, и
2
1
−
I
строго большие, чем у медианного избирателя.
Теорема о медианном избирателе.
x x
5
x
4
x
2
x
h
x
1
Рисунок 4.3.1
Значения
рангов
альтернатив 
подмножестве альтернатив, не меньших, чем х, R строго убывает по отношению к ≥, то есть если x ≥
z > y, то zPy, а если y >z ≥ x, то zPy.
        Для заданных линейного порядка ≥ на Х и рациональных отношений предпочтений R на Х
обозначим R≥⊂R множество всех одновершинных по отношению к ≥ рациональных предпочтений.
       Если задано множество агентов I, то R≥I − ограничение множества определения (множество
профилей одновершинных предпочтений).
       Пусть на R≥I общественные предпочтения определяются путем попарного голосования по
правилу простого большинства. То есть при заданном профиле (P1,…,PI)∈ R≥I для любой пары (x,y)
принадлежащих X альтернатив мы принимаем xRy, если число агентов, которые строго
предпочитают x больше или равно числу агентов, которые строго предпочитают y, то есть #{i∈I: xPi
y}≥ #{i∈I: yPi y}.
       При некотором заданном профиле предпочтений (P1,…,PI)∈ R≥I для каждого I обозначим
через xi максимизирующую Pi на Х альтернативу. Будем называть ее вершиной.
       Определение. Агент h∈I называется медианным агентом (медианным избирателем) для
профиля (P1,…,PI)∈ R≥I, если число агентов, вершины которых не больше вершины агента h и число
агентов, вершины которых не меньше вершины агента h, оба больше, чем ½I, то есть #{i∈I: xi ≥ xh}≥
½I и #{ i∈I: xi ≤ xh}≥ ½I.

  Значения
  рангов
  альтернатив




                              x1          x2   xh    x4      x5            x

                                   Рисунок 4.3.1

       На рисунке 4.3.1 изображены кривые, отражающие ранжирование предпочтений пятью
избирателями. Предпочтения одновершинны. Для избирателя h как число агентов, имеющих
вершины не меньшие, чем xh, так и число агентов, имеющих вершины не больше, чем xh, равно трем.
       Медианный избиратель всегда существует.
                                                              I −1
       Если I нечетно и нет совпадающих вершин, то                 избирателей имеют вершины строго
                                                                2
                                               I −1
меньшие, чем у медианного избирателя, и             строго большие, чем у медианного избирателя.
                                                 2
       Теорема о медианном избирателе.




                                                                                                   73

Страницы