Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 72 стр.

общества именно в посредством предпочтений. Возможно, что в некоторых ситуациях будет
достаточно квазитранзитивности и ацикличности бинарных отношений20.
            Если задано бинарное отношение R то порожденное им строгое отношение определяется
также, как и в случае предпочтений: xPy⇔[(xRy)&(yRx)]; аналогично определяется и безразличие:
xIy⇔[(xRy)&(yRx)];
           Определение. Бинарное отношение R, заданное на множестве альтернатив квазитранзитивно,
если порожденное им строгое отношение P транзитивно.
           Определение. Пусть R − бинарное отношение, заданное на множестве альтернатив X. R
ацикличное, если в любом конечном подмножестве X′⊂X для R существует максимизирующий
элемент, то есть множество {x∈X: xPy ∀y∈X}≠∅.
           В случае парадокса Кондорсе нарушается также и ацикличность, то есть самое слабое из
приведенных свойств.
           Утверждение. Транзитивность влечет квазитранзитивность, а из квазитранзитивности следует
ацикличность.
           Доказательство.
           Транзитивность    строгих   предпочтений   при   выполнении   транзитивности   нестрогих
предпочтений доказывается в стандартном курсе микроэкономики (рекомендуется повторить или
доказать самостоятельно).
           Докажем, что квазитранзитивность влечет ацикличность. Допустим, что R квазитранзитивно,
но не ациклично, то есть существует конечное X′⊂X, не имеющее максимизирующего элемента, то
есть ∀ X′ ∃ y∈X′: yPx (так как (yRx) &( xRy)). Тогда для любого целого M можно найти x1P x2P… P
xmP… P xMP, где xm∈X′ ∀m=1,…,M. Если М больше, чем число альтернатив в X′, то в этой
последовательности должны найтись совпадающие элементы. Пусть xm= xm′ при некотором m>m′.
Тогда в силу квазитранзитивности выполняется xm′> xm= xm′, но этого не может быть по определению
P и I (P антисимметрично по определению). Следовательно, P ациклично.
           Возможно также ослабление предпосылки теоремы Эрроу об универсальности области
определения.
           Один из наиболее важных случаев ограничения области определения − рассмотрение только
одновершинных предпочтений. Этот случай позволяет осуществить агрегирование без наличия
диктатора.
           Определение. Бинарное отношение ≥ на множестве альтернатив X представляет собой
линейное упорядочение на X, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично и полно.
           Определение. Рациональное отношение предпочтений на X является одновершинным по
отношению к линейному порядку ≥ на Х, если существует альтернатива x∈X , такая что на
подмножестве альтернатив, не меньших, чем х, R строго возрастает по отношению к ≥, а на

20
     См. [10].
                                                                                                 72