Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74
Утверждение. Если на Х заданы линейный порядок и профиль одновершинных предпочтений,
то при голосовании по правилу простого большинства альтернатива x
h
, являющаяся вершиной для
медианного агента h, не может быть побеждена никакой другой альтернативой.
Доказательство.
Выберем произвольную альтернативу y∈X . Для определенности предположим, что y<x
h
.
Нужно показать, что при сформулированных условиях не может выполняться yPx, то есть что при
выборе между y и x
h
число агентов, голосующих за y, больше числа агентов, голосующих за x
h
. Или,
иначе говоря, что число агентов, предпочитающих при попарном сравнении вершину медианного
агента, больше, чем число агентов, предпочитающих y.
#{i∈I: x
h
>y }≥ #{ i∈I: y> x
h
}.
Рассмотрим множество агентов S⊂I, вершина которых не меньше, чем x
h
:
S={i∈I: x
i
≥x
h
}.
Тогда x
i
≥x
h
≥y ∀ i∈S, но тогда в силу одновершинности предпочтений агента iпо отношению к
заданному линейному порядку выполняется
x
h
P
i
y ∀ i∈S.
С другой стороны, поскольку h − медианный избиратель, число элементов в S не меньше ½ и
следовательно, число агентов, строго предпочитающих y, не больше, чем число агентов, не
являющимися строго предпочитающими y, а это число равно числу элементов в множестве,
являющемся дополнением к S. Но, поскольку мощность S больше или равна ½ то число элементов в
его дополнении меньше или равно ½, и меньше или равно числу элементов в S.
Но S − множество агентов, вершина которых не меньше вершины медианного избирателя,
которая, в свою очередь, по предположению строго больше, чем y. Отсюда следует, что y не
выигрывает у вершины медианного избирателя.
Запишем приведенные выше рассуждения формально.
#S≥ ½, следовательно,
#{i∈I: yP
i
x
h
}≤#(I \ S)≤ ½I ≤ #S≤#{i∈I: x
h
P
i
y}.
Доказательство для случая, когда y больше, чем вершина медианного избирателя, аналогично.
Утверждение доказано.
Обратим внимание, что данное утверждение гарантирует ацикличность, которая в случае
парадокса Кондорсе не выполнялась.
Проверьте, что при любом линейном упорядочении альтернатив и том профиле предпочтений,
который при построении примера Кондорсе использовался, невозможно получить одновершинные
предпочтения у всех избирателей.
Однако гарантировать транзитивность не может даже одновершинность предпочтений.
Чтобы ее с гарантией обеспечить нужны дополнительные условия. Например, приведенные в
следующем утверждении. 
      Утверждение. Если на Х заданы линейный порядок и профиль одновершинных предпочтений,
то при голосовании по правилу простого большинства альтернатива xh, являющаяся вершиной для
медианного агента h, не может быть побеждена никакой другой альтернативой.
      Доказательство.
      Выберем произвольную альтернативу y∈X . Для определенности предположим, что yy }≥ #{ i∈I: y> xh}.
      Рассмотрим множество агентов S⊂I, вершина которых не меньше, чем xh:
      S={i∈I: xi≥xh}.
      Тогда xi≥xh ≥y ∀ i∈S, но тогда в силу одновершинности предпочтений агента iпо отношению к
заданному линейному порядку выполняется
      xhPiy ∀ i∈S.
      С другой стороны, поскольку h − медианный избиратель, число элементов в S не меньше ½ и
следовательно, число агентов, строго предпочитающих y, не больше, чем число агентов, не
являющимися строго предпочитающими y, а это число равно числу элементов в множестве,
являющемся дополнением к S. Но, поскольку мощность S больше или равна ½ то число элементов в
его дополнении меньше или равно ½, и меньше или равно числу элементов в S.
      Но S − множество агентов, вершина которых не меньше вершины медианного избирателя,
которая, в свою очередь, по предположению строго       больше, чем y. Отсюда следует, что y не
выигрывает у вершины медианного избирателя.
      Запишем приведенные выше рассуждения формально.
      #S≥ ½, следовательно,
      #{i∈I: yPixh}≤#(I \ S)≤ ½I ≤ #S≤#{i∈I: xhPiy}.
      Доказательство для случая, когда y больше, чем вершина медианного избирателя, аналогично.
      Утверждение доказано.
      Обратим внимание, что данное утверждение гарантирует ацикличность, которая в случае
парадокса Кондорсе не выполнялась.
      Проверьте, что при любом линейном упорядочении альтернатив и том профиле предпочтений,
который при построении примера Кондорсе использовался, невозможно получить одновершинные
предпочтения у всех избирателей.
      Однако гарантировать транзитивность не может даже одновершинность предпочтений.
      Чтобы ее с гарантией обеспечить нужны дополнительные условия. Например, приведенные в
следующем утверждении.

                                                                                              74

Страницы