Методические указания к курсу "Атомная спектроскопия". Шунина В.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
10. Почему атомная система единиц наиболее удобна для решения задач
квантовой механики?
Задачи
7. Рассчитать методом Хартри -Фока одноэлектронную энергию
1s
ε
и среднее
значение
r
<>
для основного состояния атома гелия. Сравнить полученные
результаты с литературными данными [11].
Решение
В основном состоянии атома гелия электроны полностью заполняют оболочку 1s
и имеют противоположно направленные спины (терм
1
S). Легко видеть, что в
этом случае потенциал Фока (2.12) содержит только один член , компенсирующий
самодействие в Φ(r). Тогда из (2.11) получаем одно уравнение для оболочки 1s,
которое в атомных единицах имеет вид
2
nn
2
1dZ1
(r)P(r)0
2drr2

−−+Φ−ε=


ll
,
(2.15)
где n=1, а ℓ=0. Уравнение (2.15) при известной кулоновской функции Φ(r)
представляет собой задачу на отыскание собственного значения
n
l
и
собственной функции
n
P(r)
l
оператора
2
2
1dZ1
ˆ
f(r)
2drr2
=−−+Φ
.
(2.16)
Функция
n
P(r)
l
удовлетворяет граничным условиям (2.13) и не имеет узлов на
интервале (0, ∞ ). Однако Φ (r) зависит от искомой радиальной функции
n
P(r)
l
.
Поэтому задача решается самосогласованно. На нулевом шаге для расчета
кулоновского члена будем использовать 1s радиальную функцию атома водорода.
Затем собственные значения и собственные функции оператора (2.16) будем
находить методом пристрелки. Этот метод подробно описан в [10] и практически
освоен нами ранее в рамках вычислительной практики 3-го курса . После
определения радиальной функции кулоновский член пересчитывается и
выполняется новая итерация. Процесс продолжается до тех пор, пока абсолютное
значение разности одноэлектронных энергий на двух соседних итерациях не
станет меньше наперед заданной точности . Ниже приводится программа на языке
системы Mathematica и результаты расчета.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
МЕТОД ХАРТРИ - ФОКА : АТОМ ГЕЛИЯ (
1
S)
СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ ИДЕНТИФИКАТОРОВ В ГОЛОВНОЙ ЧАСТИ ПРОГРАММЫ 
                                                14

   10. П очему атомн ая си стема еди н и ц н аи бол ее у добн а дл я решен и я задач
       к в ан тов ой механ и к и ?

                                             Задачи

7. Рассчи тать методом Хартри -Ф ок а одн оэл ек трон н у ю эн ерги ю ε1s и средн ее
зн ачен и е < r > дл я осн ов н ого состоян и я атома гел и я. Срав н и ть пол у чен н ы е
резу л ьтаты сл и терату рн ы ми дан н ы ми [11].

                                            Решен и е

В осн ов н ом состоян и и атома гел и я эл ек трон ы пол н остью запол н яют обол очк у 1s
и и меют проти в опол ож н о н аправ л ен н ы е спи н ы (терм 1S). Л егк о в и деть, что в
этом сл у чае потен ци ал Ф ок а (2.12) содерж и т тол ьк о оди н чл ен , к омпен си ру ющ и й
самодей ств и е в Φ (r). Тогда и з (2.11) пол у чаем одн о у рав н ен и е дл я обол очк и 1s,
к оторое в атомн ы х еди н и цах и меет в и д

                                 1 d2 Z 1                      
                                 − 2 dr 2 − r + 2 Φ (r) − ε nl  Pnl (r) = 0 ,              (2.15)
                                                               

где n=1, а ℓ=0. У рав н ен и е (2.15) при и зв естн ой к у л он ов ск ой ф у н к ци и Φ (r)
представ л яет собой задачу н а оты ск ан и е собств ен н ого зн ачен и я ε nl и
собств ен н ой ф у н к ци и Pnl (r) оператора
                                     ˆ    1 d2 Z 1
                                     f =−       − + Φ (r) .                                  (2.16)
                                          2 dr 2 r 2

Ф у н к ци я Pnl (r) у дов л етв оряет гран и чн ы м у сл ов и ям (2.13) и н е и меет у зл ов н а
и н терв ал е (0, ∞ ). О дн ак о Φ (r) зав и си т от и ск омой ради ал ьн ой ф у н к ци и Pnl (r) .
П оэтому задача решается самосогл асов ан н о. Н а н у л ев ом шаге дл я расчета
к у л он ов ск ого чл ен а бу дем и спол ьзов ать 1s ради ал ьн у ю ф у н к ци ю атома в одорода.
З атем собств ен н ы е зн ачен и я и собств ен н ы е ф у н к ци и оператора (2.16) бу дем
н аходи ть методом при стрел к и . Э тот метод подробн о опи сан в [10] и прак ти ческ и
осв оен н ами ран ее в рамк ах в ычи сл и тел ьн ой прак ти к и 3-го к у рса. П осл е
определ ен и я ради ал ьн ой ф у н к ци и к у л он ов ск и й чл ен пересчи ты в ается и
в ы пол н яется н ов ая и тераци я. П роцесспродол ж ается до тех пор, пок а абсол ютн ое
зн ачен и е разн ости одн оэл ек трон н ы х эн ерги й н а дв у х соседн и х и тераци ях н е
стан ет мен ьше н аперед задан н ой точн ости . Н и ж е при в оди тся программа н а язы к е
си стемы Mathematica и резу л ьтаты расчета.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

                   МЕТОД ХАРТРИ - ФОКА : АТОМ ГЕЛИЯ (1S)

       СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ ИДЕНТИФИКАТОРОВ В ГОЛОВНОЙ ЧАСТИ ПРОГРАММЫ

Страницы