Методические указания к курсу "Атомная спектроскопия". Шунина В.А - 12 стр.

                                                                            12

                                                 ∞      ∞
                                                                         r<λ
                                                 ∫ ∫
                                         = e dr dr ′ Pnl (r) Pn′l′ (r ′) λ+1 Pn′l′ (r) Pnl (r ′) ,
                              λ              2
                          I   nl ,n′l′
                                             0 0
                                                                        r>

 l l′ λ 
0 0 0  - 3j-си мв ол В и гн ера; r< и r> обозн ачают мен ьшу ю и бол ьшу ю в ел и чи н ы и з
        
r и r’.
      Рассматри в ая Е к ак ф у н к ци он ал по отн ошен и ю к {Pnℓ}, потребу ем
стаци он арн ости его в ари аци и по в сем одн оэл ек трон н ы м в ол н ов ы м ф у н к ци ям при
сохран ен и и и х ортон орми ров ан н ости

                                                                  ∞
                                                                                       
                                                                 0
                                                                      ∫
                                                 δ  E − Λ nl ,n′l′ Pnl (r)Pn′l′ (r)dr  = 0 .
                                                                                       
                                                                                                                                (2.10)




П рак ти к а расчетов пок азал а, что в подав л яющ ем бол ьши н ств е сл у чаев
н еди агон ал ьн ые мн ож и тел и Л агран ж а Λ nℓ,n’ℓ’ мал ы и и ми мож н о прен ебречь,
при чем ортогон ал ьн ость {Pnℓ} обеспечи в ается с дов ол ьн о хорошей точн остью.
О став л яя в (2.10) тол ьк о ди агон ал ьн ы е мн ож и тел и Л агран ж а, пол у чаем

                     h 2 d 2 l(l + 1)h 2 Ze 2             
                     − 2m dr 2 + 2mr 2 − r + Φ (r) − ε nl  Pnl (r) = − Fnl (r) ,                                              (2.11)
                                                          

где ε nℓ = Λ nℓ,nℓ и и меет смы сл одн оэл ек трон н ой эн ерги и ,

                                                                              l + l′
                                                                                         l l′ λ  λ
                                                                                                   2

                                                     ∑                        ∑
                                     e2
                         Fnl (r) = −                          N n′l′ Pn′l′ (r)          0 0 0  J nl ,n′l′ (r) ,               (2.12)
                                                                               λ= l −l          
                                     2                    ′
                                                     nl ,n l′                         ′


                                                                                             ∞
                                                                                                 Pn′l′ (r ′)Pnl (r ′)
                                             r


                                             ∫                                               ∫
                                         1
          J   λ
              nl ,n′l′   (r) =                   Pn′l′ (r′) Pnl (r ′) (r ′) dr ′ + r
                                                                             λ           λ
                                                                                                                      dr ′ .
                                     r λ+1   0                                               r
                                                                                                       (r′)λ+1

        Так и м образом, пол у чаем си стему у рав н ен и й (2.11), к ол и честв о к оторых
рав н о чи сл у (nℓ)-обол очек . Бл агодаря н ал и чи ю обмен н ого чл ен а Fnℓ(r),
н азы в аемого потен ци ал ом Ф ок а, эти у рав н ен и я св язан ы дру г с дру гом.
Н еи зв естн ы ми в эти х у рав н ен и ях яв л яются одн оэл ек трон н ы е эн ерги и {ε nℓ} и
соотв етств у ющ и е и м ради ал ьн ы е ф у н к ци и {Pnℓ}, у дов л етв оряющ и е гран и чн ы м
у сл ов и ям

                                                              Pnl (0) = Pnl (∞) = 0                                            (2.13)