Методические указания к курсу "Атомная спектроскопия". Шунина В.А - 11 стр.

                                                       11

яв л яются пробн ы ми и подл еж ат определ ен и ю. И х мож н о н ай ти и з у рав н ен и й ,
пол у чаемы х обы чн о с и спол ьзов ан и ем в ари аци он н ого при н ци па Ри тца и метода
н еопредел ен н ы х мн ож и тел ей Л агран ж а. Дл я пол у чен и я эти х у рав н ен и й дел ается
допу щ ен и е, что в заи модей ств и е в ы дел ен н ого эл ек трон а с остал ьн ы ми
эл ек трон ами опи сы в ается потен ци ал ьн ой ф у н к ци ей , зав и сящ ей тол ьк о от
к оорди н ат этого эл ек трон а. Бол ее того, пол агают, что эта потен ци ал ьн ая ф у н к ци я
(и л и потен ци ал ьн ое пол е) и меет сф ери ческ у ю си мметри ю. О дн оэл ек трон н ая
в ол н ов ая ф у н к ци я тогда дол ж н а и меть в и д

                              r          r 1
                          ϕk (r) ≡ ϕnlm (r) = Pnl (r)Ylm (θ, ϕ) .                                  (2.6)
                                             r

М ож н о пок азать, что сф ери ческ ая си мметри я потен ци ал ьн ого пол я и меет место,
есл и зарядов ая пл отн ость эл ек трон ов так ж е сф ери ческ и си мметри чн а. Дл я атомов
с пол н остью запол н ен н ы ми обол очк ами это обеспечи в ается ав томати ческ и .
О дн ак о одн одетерми н ан тн ое представ л ен и е мн огоэл ек трон н ой в ол н ов ой ф у н к ци и
и спол ьзу ется и дл я при бл и ж ен н ого рассмотрен и я осн ов н ы х состоян и й атомов с
части чн о запол н ен н ы ми обол очк ами , дл я к оторых сф ери ческ ая си мметри я
н и к ои м образом н е гаран ти ров ан а. В этом сл у чае пол агают, что

                                                         ∞
            r            1
          ρ(r) = ρ(r) =
                        4πr 2
                                  ∑N
                                   nl
                                             2
                                            P (r);
                                          nl n l            ∫ ρ(r)4πr dr = ∑ N
                                                                        2

                                                                                 nl
                                                                                       nl   = N.   (2.7)
                                                            0


З десь Nnℓ - к ол и честв о эл ек трон ов н а обол очк е (nℓ). В ыраж ен и я (2.6) и (2.7)
яв л яются осн ов н ыми ф орму л ами при бл и ж ен и я цен трал ьн ого пол я, к оторы е
и спол ьзу ются дл я в ы в ода одн оэл ек трон н ы х у рав н ен и й . П одстав и в (2.6) и (2.7) в
(2.3), пол у чаем

                                    ∞


                                   ∫ {[dP
                                                                l(l + 1) 2 
                   ∑
                              h2
              E=                                 (r) / dr ] +           Pnl (r)  dr +
                                                            2
                         N nl               nl
                    nl
                              2m    0
                                                                   r2           
                           ∞


                           ∫
                         +  − Ze 2 / r + Φ (r) / 2  4πr 2 dr + E ex ,
                           0
                                                                                                   (2.8)




где обмен н ы й чл ен

                                                     l + l′
                                                               l l′ λ  λ
                                                                            2

                                    ∑                  ∑
                              1
                     E ex = −           N nl N n′l′            0 0 0  I nl ,n′l′ .               (2.9)
                                                    λ= l −l           
                              4 nl,n′l′                     ′



З десь