ВУЗ:
Рубрика:
1 Введение. Основные понятия си-
нергетики
Синергетика как новое мировоззрение. Консервативные и дис-
сипативные системы. Механическое и термодинамическое рав-
новесие. Нелинейность и обратные связи. Энтропия и хаос.
Процессы самоорганизации. Пространственные и пространст-
венно-временные структуры. Уравнения эволюции. Устойчи-
вость и бифуркации.
2 Термодинамический анализ нели-
нейных систем
Открытые системы в условиях механического равновесия. Ста-
ционарные неравновесные состояния. Теорема о минимальном
производстве энтропии. Невозможность упорядоченного пове-
дения в области линейности необратимых процессов. Общий
критерий эволюции для равновесных и неравновесных систем.
3 Нелинейные дифференциальные
уравнения
Системы нелинейных уравнений с одной и двумя степенями
свободы, автономные системы. Анализ фазовых траекторий
этих систем. Классификация особых точек: простые особые
точки (центр, узел, фокус, седловая точка) и множественные
седловые точки. Предельные циклы.
4 Теория устойчивости и бифуркаций
нелинейных дифференциальных
уравнений
Устойчивость по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову. Линейный
анализ устойчивости. Теория катастроф. Бифуркации в простой
диссипативной системе. Бифуркация Хопфа и предельные цик-
лы.
5 Исследование конкретных нели-
нейных процессов
Статические неустойчивости - переход системы в новое со-
стояние. Бистабильность. Автоколебания в электрической цепи.
Химические осцилляции -реакция Белоусова-Жаботинского.
Ячейки Бенара. Математический маятник, модель хищник-
жертва.
6 Анализ динамики консервативных
и диссипативных систем
Геометрия фазового пространства. Структурные свойства фа-
зовых траекторий.Теорема Лиувилля. Отображение Пуанкаре.
Классификация состояния сложных систем на основе отобра-
жения Пуанкаре. Консервативные системы – возможность су-
ществования хаотических и упорядоченных состояний в систе-
мах с различным числом степеней свободы. Эргодичность и
перемешивание. Простые и странные
аттракторы.
7 Диссипативные динамические сис-
темы и их аттракторы
Сжатие фазового объема для диссипативных систем. Простые
и странные аттракторы. Квазиаттракторы. Критерии динамиче-
ского хаоса: энтропии Колмогорова-Синая, показатели Ляпуно-
ва, автокорреляционные функции.
8 Типичные сценарии перехода к
хаосу
Турбулентность Лоренца, хаос Помо-Манневилля, хаос Рюэля-
Таккенса-Ньюхауза. Теория точечных отображений. Хаос Фей-
генбаума. Универсальность Фейгенбаума. Пространственно-
временной хаос.
9 Фракталы. Фрактальные размерно-
сти
Кривая Кох, канторово множество и ковер Серпиньского. Раз-
мерность Хаусдорфа-Безиковича. Поточечная, информацион-
ная и корреляционная размерности. Соотношение этих размер-
ностей. Фрактальность границ.
10 Моделирование нелинейных про-
цессов на компьютерах
Занятия в компьютерном классе с предложенным комплексом
программ по синергетике
Темы занятий в компьютерном классе
1. Изучение процессов самоорганизации на следующих примерах:
• динамика популяций хищников-жертв,
• химические осцилляции в реакции Белоусова-Жаботинского,
• динамический хаос в модели математического маятника,
• маятник Ван-дер-Поля,
• нелинейный маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости
2. Моделирование хаоса:
• турбулентность в модели Лоренца,
