Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 139 стр.

                                 T1 ⋅ &x& + x& = k ⋅ u , при 0 ≤ t < t1 ,             (6.1)
                                 T2 ⋅ &x& + x& = k ⋅ u , при t1 < t ≤ t 2 ,           (6.2)

где T1 , T2 и k - положительные постоянные.
           Данная система уравнений возникает, например, при описании торможения
двигателя противовключением, когда в его якорь включается добавочное
сопротивление.
           Алгоритм управления, переводящий объект из положения x = 0 , x& = 0 при
t = 0 в положение x = xn , x& = 0 за минимальное время состоит из двух интервалов
управления ± u max . На управляющее воздействие наложено ограничение u ≤ umax .
Определить момент переключения t1 , оптимальный переходной процесс
 r
x (t ) = ( x1 (t ), x2 (t )) и время перехода t 2 . По точкам построить графики x1 (t ) и x2 (t ) . В
точке t = t1 x1 (t ) и x2 (t ) должны рассчитываться дважды по разным формулам и
эти значения должны совпадать.
           Прежде чем приступить к поиску оптимального решения, необходимо
исследовать характеристики объекта и устойчивость его состояния. Для этих
целей следует воспользоваться формулами для передаточной, частотной и
переходной функций и функции веса, которые были выведены в лабораторной
работе № 5. В эти формулы надо подставить сначала T1 , а затем T2 . Построить
графики частотных функций, а также графики переходных функций при
толчкообразном и синусоидальном внешних воздействиях, используя M-функции
RKiw и LWSin.
        Теперь необходимо найти алгоритм оптимального управления для
следующих исходных данных: T1 = 0.6200; T2 = 1.2000; k = 0.0023; umax= 220;
xn = 2.0900.
        Сначала найдем решение уравнения на первом интервале. Обозначим: x1 = x .
Так как на нем u = u max , то дифференциальное уравнение будет иметь вид
                                        T1 ⋅ &x&1 + x&1 = k ⋅ u max .               (6.3)

Общим решением этого уравнения является функция
                                                                    ⎛ t ⎞
                            x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + c1 + c2 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ .          (6.4)
                                                                    ⎝ T1 ⎠
Тогда
                                                     c2       ⎛ t ⎞
                            x&1 (t ) = k ⋅ u max −      ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ .                (6.5)
                                                     T1       ⎝ T1 ⎠
Используя начальные условия x1 = 0 , x&1 = 0 определим c1 и c2 . Имеем следующую
систему уравнений:
                                      ⎧c1 + c2 = 0,
                                      ⎪
                                      ⎨             c2                                (6.6)
                                      ⎪ k ⋅ u max −     = 0.
                                      ⎩             T1
Решая систему, получим              c1 = −k ⋅ u max ⋅ T1 ,
                                               c2 = k ⋅ u max ⋅ T1 . Подставляя найденные
значения c1 и c2 в формулы (6.4) и (6.5), получим

                                                          139