Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 140 стр.

                                                                     ⎛     ⎛ t ⎞ ⎞
                           x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + k ⋅u max ⋅T1 ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − ⎟⎟ − 1⎟⎟ ,       (6.7)
                                                                     ⎝     ⎝  T1 ⎠    ⎠
                                          ⎛          ⎛ t ⎞⎞
                  x&1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜1 − exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ .                            (6.8)
                                          ⎝          ⎝   T 1 ⎠ ⎠
На втором интервале (t1 < t ≤ t 2 ) управление u = − u max . На этом интервале
дифференциальное уравнение будет иметь вид
                        T2 ⋅ &x&1 + x&1 = −k ⋅ u max .                                                  (6.9)
Общим решением является функция
                                                                               ⎛ t ⎞
                                      x1 (t ) = −k ⋅ u max ⋅ t + c3 + c4 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ .                         (6.10)
                                                                               ⎝ T2 ⎠
Тогда
                                                                  c4       ⎛ t ⎞
                                        x&1 (t ) = −k ⋅ u max −      ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ .                             (6.11)
                                                                  T2       ⎝ T2 ⎠
      Имеется четыре неизвестных c3 , c4 , t1 и t 2 . Для их определения используем
два условия x1 (t 2 ) = xn , x&1 (t 2 ) = 0 . Метод стыкования дает еще уравнения. Тогда
получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными.
      Сначала используем условия в точке t 2
                                                                            ⎛ t ⎞
                               x1 (t 2 ) = −k ⋅ u max ⋅ t 2 + c3 + c4 ⋅ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = xn ,            (6.12)
                                                                            ⎝ T2 ⎠
                                                            c      ⎛ t ⎞
                                x&1 (t 2 ) = −k ⋅ u max − 4 exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = 0 .                         (6.13)
                                                            T2     ⎝ T2 ⎠
Решая эту систему относительно c3 и c4 , получим
                                                                      ⎛t ⎞
                                          c4 = −k ⋅ u max ⋅ T2 ⋅ exp⎜⎜ 2 ⎟⎟ ,                          (6.14)
                                                                      ⎝ T2 ⎠
                                          c3 = xn + k ⋅ u max ⋅t 2 + k ⋅ u max ⋅ T2 .                  (6.15)
Подставляя эти значения в формулы (6.10) и (6.11), получим

                                                                              ⎛       ⎛ t − t ⎞⎞
                   x1 (t ) = x n + k ⋅ u max ⋅ (t 2 − t ) + k ⋅ u max ⋅ T2 ⋅ ⎜⎜1 − exp⎜ 2     ⎟ ⎟⎟ ,            (6.16)
                                                                              ⎝       ⎝ T ⎠⎠
                                                            ⎛    ⎛t −t ⎞ ⎞
                                    x&1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜ exp⎜ 2   ⎟ − 1⎟⎟ .                                (6.17)
                                                            ⎝    ⎝ T ⎠ ⎠

Теперь будем считать, что x1 (t ) и x&1 (t ) в точке переключения управления t1
непрерывны. Приравняем значения x1 (t ) , найденное по формулам (6.7) и (6.16), а
также значения x&1 (t ) , найденное по формулам (6.8) и (6.17),
                                                  ⎛     ⎛ t ⎞ ⎞
                 k ⋅ u max ⋅ t1 + k ⋅u max ⋅T1 ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ − 1⎟⎟ =
                                                  ⎝     ⎝ T1 ⎠ ⎠
                                                                                       (6.18)
                                                              ⎛         ⎛ t 2 − t1 ⎞ ⎞
            = xn + k ⋅ u max ⋅ (t 2 − t1 ) + k ⋅ u max ⋅ T2 ⋅ ⎜1 − exp⎜            ⎟⎟,
                                                              ⎝         ⎝     T    ⎠⎠
получим
                                                            140