Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 20 стр.

                  ⎧ .
                  ⎪ p 0 (t ) = −λ ⋅ p 0 (t ) + µ ⋅ p1 (t ),
                  ⎪.
                  ⎪ p k (t ) = λ ⋅ p k −1 (t ) − (λ + k ⋅ µ ) ⋅ p k (t ) + (k + 1) ⋅ µ ⋅ p k +1 (t )
                  ⎨                                                                                    (5.3)
                  ⎪                                 (0 < k < n),
                  ⎪.
                  ⎪⎩ p n (t ) = λ ⋅ p n −1 (t ) − n ⋅ µ ⋅ p n (t ).

      Интегрирование системы уравнений (5.3) нужно производить при
начальных условиях:
                  p 0 (0) = 1; p1 (0) = p 2 (0) = ... = p n (0).                                       (5.4)
      Для любого момента времени должно выполняться условие
                                                  n

                                                 ∑p
                                                 k =0
                                                        k   (t ) = 1 .                                 (5.5)

      Вероятность           pk (t ) характеризует среднюю загрузку системы и ее
изменение с течением времени. В частности, Pn (t ) есть вероятность того, что
заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми (получит
отказ):
                                       pотк = p n (t ) .                                               (5.6)
      Величина            q(t ) = 1 − pn (t )           называется относительной пропускной
способностью системы. Для данного момента t это есть отношение среднего
числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.
      При t → ∞ вероятности p k (t ) → pk , а p& k (t ) → 0 . Для установившегося
режима вероятности p k (k = 0,1,..., n) можно получить из решения следующей
алгебраической системы
  ⎧− λ ⋅ p 0 + µ ⋅ p1 = 0 ,
  ⎪λ ⋅ p − (λ + k ⋅ µ ) ⋅ p + (k + 1) ⋅ µ ⋅ p = 0,                   (0 < k < n),
  ⎪⎪         k −1                    k       k +1

   ⎨ λ   ⋅ p n −1 − n ⋅ µ ⋅ p n = 0,                                                                   (5.7)
   ⎪n
   ⎪∑ p k = 1 .
   ⎪⎩ k =0

          Решая систему (5.7) можно получить
                                                 −1
                                 ⎡ n αk ⎤
                            p0 = ⎢∑ ⎥ ,                                                                (5.8)
                                 ⎣ k = o k! ⎦

                                                             20