Составители:
Рубрика:
63
〈 Ux, Ux〉 = 〈x, x〉.
Преобразуем вектор входных переменных по правилу
x = Uz, z = U
t
x.
Регрессионное уравнение после преобразования переменных
примет следующий вид:
y = 〈a, Uz〉 = 〈 U
t
a, z 〉 = 〈b, z〉,
где
b = U
t
a.
Ковариационная матрица координат вектора
z z
i
, i = 1, 2, …, m,
найденная по обычным правилам, приобретает диагональную форму
K
z
= M(zz
t
) = M(U
t
xx
t
U) = U
t
K
x
U = Λ,
где
Λ – диагональная матрица, элементами которой являются упо-
рядоченные по убыванию собственные значения матрицы
K
х
.
Из определения матрицы
K
z
следует, что
()
, =λ
ii i
Mz z ;
M(z
i,
z
j
) = 0, i
≠
j.
Таким образом, новые переменные z
i
,
i = 1, 2, …, m некоррелиро-
ваны, а их дисперсии равны λ
i
. Новые переменные z
i
называются в ли-
тературе
главными компонентами, а изложенная выше процедура –
компонентным анализом.
Подведем итог полученным результатам и наметим пути их ис-
пользования. Формальный алгоритм сводится к следующим дейст-
виям.
1. Вычисляются элементы ковариационной матрицы
K
х
, опреде-
ляются ее собственные значения и соответствующие им собствен-
ные векторы.
2. Собственные векторы нормируются и упорядочиваются по
абсолютной величине собственных значений.
3. Составляется матрица преобразования
U.
4. Векторы
x
i
, i = 1, 2, …, n наблюденных значений входных пе-
ременных преобразуются по правилу
z
i
= U
t
x
i
.
5. Методами классического множественного регрессионного
анализа (подразд. 4.2) на основе преобразований данных
z
i
опреде-
ляются коэффициенты
b
i
, i = 1, 2, …, m.
64
При всех трудностях вычисления собственных векторов и собст-
венных значений приведенный алгоритм достаточно просто реали-
зуется. Главная проблема состоит в сколько-нибудь разумном ис-
толковании и использовании полученных результатов.
При формировании исходной теоретической модели входные
переменные
x
i
выбирались из числа экономических факторов на ос-
нове тщательного изучения предметной области. Аппарат множест-
венного регрессионного анализа позволяет установить факт влияния
входных переменных на выходной показатель, а также оценить ко-
личественно (коэффициенты
a
i
) меру этого влияния. Истолкование и
использование результатов здесь не составляло труда для специали-
ста в данной предметной области.
Главные компоненты представляют линейные комбинации ис-
ходных переменных и, вообще говоря, не имеют никакого экономи-
ческого смысла. Единственным существенным инвариантом преоб-
разования (кроме собственных значений λ
i
) является сумма диспер-
сий переменными
x
i
и z
i
. Унитарное преобразование U оставляет
неизменным скалярное произведение. Поэтому
〈z, z〉 = 〈U
t
x, U
t
x〉 = 〈x, x〉.
Переходя к математическим ожиданиям, получаем
22
.=λ=
∑
∑∑
ii
zix
s
s
Этот факт будет существенно использован в дальнейшем для
принятия соответствующих решений.
Приступая к анализу полученных результатов, прежде всего не-
обходимо оценить соотношение дисперсий (собственных значений
λ
i
) главных компонент. При наличии сильной мультиколлинеарно-
сти следует ожидать значительных различий (на порядок и больше)
абсолютных величин собственных значений. Главные компоненты с
малыми дисперсиями
λ
i
следует исключить. Ошибка при этом легко
оценивается по сумме собственных значений исключенных главных
компонент.
Из матрицы преобразований
U исключаются последние столб-
цы, соответствующие исключаемым главным компонентам. Если
при этом число главных компонент оказалось небольшим, зачастую
удается приписать им вполне определенный экономический смысл.
Это наиболее интересный случай, позволяющий выявить скрытые
зависимости, установить новую систему экономических перемен-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
