Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
факторов и соответствующих факторных нагрузок, в результате че-
го входные переменные представляются в виде
х = Uz.
Существует ряд методов решения этой задачи. Мы рассмотрим
наиболее наглядный из них, так называемый центроидный метод.
Для простоты изложения положим k = 2. Пусть х
1
, х
2
– две входные
переменные. Так как в принятых допущениях
s
1
2
= M 〈х
1
, х
1
〉,
s
2
2
= M 〈х
2
, х
2
〉,
x
K
= M 〈х
1
, х
2
) = r s
1
s
2,
то ковариационная матрица имеет вид
K=
2
112
2
12 2
.
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
s
rs s
rs s s
Из теории векторных пространств известно, что косинус угла
между векторами
x
1
, x
2
равен
12
12
,
cos .
||| |
θ=
x
x
x
x
Отождествляя случайные величины x
1
, x
2
с векторами, а их дли-
ны – со среднеквадратичными отклонениями, находим, что угол
между ними определяется выражением
12
12 12
cos θ= = =
x
K
rs s
r
ss ss
.
Предположим, что угол θ – острый. В противном случае знак
одной из переменных можно изменить на противоположный. Тогда
направление векторов (а в общем случае – пучка векторов) указыва-
ет, если так можно выразиться, направление корреляции. Сумма
этих векторов после приведения ее к единичной длине определяет
первый фактор z
1.
Он отражает, в какой-то мере, среднее направле-
ние пучка. Пусть φ
1
, φ
2
– углы между факторами z
1
и векторами х
1
,
х
2
соответственно, φ
1
+ φ
2
= θ. Из чисто геометрических соображе-
ний находим
u
11
= s
1
cos φ
1
;
u
21
= s
2
cos φ
2
.
Обозначим вектор-столбец нагрузок первого фактора через
U
1
.
Тогда, выполняя замену переменных
x =U
1
z
1
,
68
мы тем самым учитываем влияние первого фактора, а матрица оста-
точных ковариаций принимает вид
K
0
= K – U
1
U
1t
или после некоторых преобразований
K
0
22
11 1212
22
12 1 2 2 2
sin sin sin
sin sin sin
sss
ss s
⎛⎞
ϕ
−ϕϕ
=
⎜⎟
⎜⎟
−ϕϕ ϕ
⎝⎠
.
Поскольку s
1
sinφ
1
= s
2
sinφ
2
, то суммы элементов по строкам и
столбцам равны нулю. Для дальнейших операций следует изменить
знаки элементов на противоположные в одной строке и в одном
столбце. Проанализируем матрицу
K
0.
Так как φ
1
, φ
2
– острые углы,
то дисперсии в
K
0
по сравнению с K уменьшились, причем в точно
известных соотношениях, определяемых величинами sinφ
1
, sinφ
2
.
Корреляционные моменты также уменьшились и даже стали отри-
цательными. Степень уменьшения корреляции в общем случае ус-
тановить довольно сложно, хотя в конкретном расчете эта оценка не
представляет труда.
Пусть θ = φ
1
+ φ
2
=
2
π
. В этом случае r = cosθ = 0, исходные слу-
чайные величины некоррелированы, факторные нагрузки равны ну-
лю, факторами являются сами входные переменные. Другой край-
ний случай соответствует линейной функциональной зависимости
между х
1
, х
2
, например, х
1
= kx
2
, где k – некоторый числовой коэф-
фициент. В этом случае θ = φ
1
= φ
2
= 0 и факторные нагрузки равны
дисперсиям
u
11
= s
1
;
u
11
= s
2
.
Матрица остаточных ковариаций нулевая. Это означает, что
единственный фактор
z
1
полностью исчерпал ковариационную мат-
рицу. Вектор
z
1
имеет единичную длину, поэтому факторные на-
грузки равны длинам параллельных векторов
x
1
и x
2
. Наконец, рас-
смотрим наиболее интересный для приложений случай мультикол-
линеарности. Здесь углы φ
1
и φ
2
малы, уменьшение значений коэф-
фициентов остаточной матрицы существенно, метод хорошо рабо-
тает. Если ковариации уменьшились недостаточно, то аналогично
предыдущему по матрице
K
0
вычисляется нагрузка второго факто-
ра. Эта процедура (в многомерных случаях) продолжается до тех
пор, пока не будут получены приемлемые значения остатков.

Страницы