Теория полезности. Смагин Б.И. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

3
1. Классическая задача математического
программирования
1.1. Статическая задача без ограничений. Безусловный
экстремум.
Пусть в некоторой области D n – мерного векторного
пространства E
n
задана функция f(X) = f(x
1
,x
2
,…,x
n
).
Говорят, что в точке X
0
∈
D функция f(X) достигает
своего наибольшего значения (глобального максимума), если
для любой точки X
∈
D выполняется неравенство
f(X) ≤ f(X
0
)
Будем считать глобальный максимум строгим, если
f(X) < f(X
0
) для всех X
∈
D, X ≠ X
0
Фундаментальная теорема математического програм-
мирования – теорема Вейерштрасса – формулирует условия
существования глобального максимума.
Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество
D
⊂
E
n
является компактным (т.е. ограниченным и замкнутым)
и непустым. Тогда всякая непрерывная функция f(X), X
∈
D
достигает глобального максимума внутри или на границе об-
ласти D.
Назовем ε-окрестностью точки X
0
∈
D множество то-
чек, удовлетворяющих условию:
()
2
00
1
n
ii
i
XXxx
ε
=
−=−<
∑
Пусть Е – это ε-окрестность точки X
0
∈
E
n
, т.е. множе-
ство
E = {X
∈
E
n
:|X – X
0
| < ε}
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                       1. Классическая задача математического
                                 программирования

                  1.1. Статическая задача без ограничений. Безусловный
            экстремум.
                  Пусть в некоторой области D n – мерного векторного
            пространства En задана функция f(X) = f(x1,x2,…,xn).
                  Говорят, что в точке X0 ∈ D функция f(X) достигает
            своего наибольшего значения (глобального максимума), если
            для любой точки X ∈ D выполняется неравенство

                                            f(X) ≤ f(X0)

                    Будем считать глобальный максимум строгим, если

                             f(X) < f(X0) для всех X ∈ D, X ≠ X0

                   Фундаментальная теорема математического програм-
            мирования – теорема Вейерштрасса – формулирует условия
            существования глобального максимума.
                   Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество
                 n
            D ⊂ E является компактным (т.е. ограниченным и замкнутым)
            и непустым. Тогда всякая непрерывная функция f(X), X ∈ D
            достигает глобального максимума внутри или на границе об-
            ласти D.
                   Назовем ε-окрестностью точки X0 ∈ D множество то-
            чек, удовлетворяющих условию:

                                                 n              2

                                  X − X0 =      ∑( x − x )
                                                i =1
                                                       i   i0       <ε

                    Пусть Е – это ε-окрестность точки X0                 ∈   En, т.е. множе-
            ство

                                    E = {X∈ En:|X – X0| < ε}



                                                                                           3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы